Nerovnice s absolutní hodnotou

Příklad 1

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) (|x|-2)(x+1)<0 (b) |x^2-2x-3|<5-x
(c) |x+1|>x^2+7x+6 (d) x+1\geq|x^2+4x+3|
(e) x^2\leq|x^2-2x-3| (f) \big|x-|x+1|\big|\leq2x
(g) |2x^2+6x-7|<|x^2-5x-7| (h) |x^2-8x|\geq|x^2-8x+2|
(i) |x^4-4x^2-6|\geq|x^4-4x^2+14| (j) x^2-3|x+1|-x\le0
(k) |x-6|>x^2-5x+9 (l) |x^2-2x|<x
(m) 2x<|x^2-5|\le4x (n) |x^2-1|<1
(o) 1\le |10-x^2|\le6 (p) |x^2-3x+2|-1>x-2
(q) |x^2-4x+3|\le|x^2+x-3| (r) |x^2-3x+2|>|x^2-2x-2|
Řešení Ukázat

 

Příklad 2

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \dfrac{1}{|x+1|}>\dfrac{2}{|x-1|} (i) \dfrac{|x-2|}{2-|x|}<-2
(b) \dfrac{x-3}{x-1}\leq|x+2| (j) 2x+3+\dfrac{1}{|x-2|}\ge x^2+\dfrac{1}{|2-x|}
(c) \dfrac{1}{x}<|x+2| (k) \dfrac{x^2-7|x|+10}{x^2-6x+9}<0
(d) x\leq\left|\dfrac{x+2}{x-3}\right| (l) \left|\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-1}\right|\ge 1
(e) \dfrac{|x+3|}{x+1}\ge2 (m) \dfrac{|x^2+x-12|}{x-3}\ge1
(f) \dfrac{|x+1|}{x-1}>3 (n) \dfrac{|x^2+2x-3|}{x-1}\ge1
(g) \left|\dfrac{x+1}{3-2x}\right|>1 (o) \left| \dfrac {x^{2}-5x+4} {x^{2}-4}\right| \leq 1 
(h) \left|\dfrac{x^2-4}{x}\right|\le3 (p) \left| \dfrac {x+1} {x-2}\right| -2\cdot \left| \dfrac {x-2} {x+1}\right| \geq -1
Řešení Ukázat

 

Příklad 3

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \left|\dfrac2{x-13}\right|>\dfrac89 (b) \dfrac{x^2-|x|-12}{x-3}\ge2x
(c) \dfrac{|2x-1|}{x^2+x-2}\ge3 (d) \left|\dfrac{x-1}{x+2}\right|>\dfrac2{x+2}+\dfrac12
(e) \dfrac{x^2+2|x|-1}x\ge0 (f) \dfrac{x^2-3|x|+4}x\ge-1
(g) \left|\dfrac{x-1}{x+4}\right|>|3-x| (h) \left|\dfrac{x+1}{x+3}\right|>|2-x|
(i) \dfrac{6-4x+\frac{x^2}2}{|x-4|-2}>0 (j) \dfrac{6+2x-\frac{x^2}2}{|x-2|-4}<0
(k) \dfrac{2x^2+2|x|}{4|x|-5}\ge x^2 (l) \dfrac{x^2+|x|}{x^2-1}\ge 1-4|x|
(m) \dfrac{|3-x|+|x+1|}x>\dfrac32 (n) \dfrac{|6-2x|+|2x+1|}x>3
(o) \dfrac{|2|x|-3|}{||x|-2|}\ge3  
Řešení Ukázat

 

Příklad 4

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \dfrac{x^2+x+1-2|x^3+x^2+x|}{10x^2-17x-6}\ge0
(b) \Big||1-x^2|-|x^2-3x+2|\Big|\ge3|x-1|
(c) \dfrac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}<\dfrac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}

Řešení Ukázat

Příklad 5

Řešte pro x\in\mathbb{R} soustavu nerovnic:

(a) \begin{cases}11+24x-17x^2\ge0\\|x^2-2x+1|\le1\end{cases} (c) \begin{cases}|x^2+5x|<6\\|x+1|\le1\end{cases}
(b) \begin{cases}|2x-1|<3\\\dfrac{x+2}x<0\end{cases} (d) \begin{cases}|x^2-4x|<5\\|x+1|<3\end{cases}
Řešení Ukázat