Racionální nerovnice

Příklad 1

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \dfrac{6x+18}{7x}\le0 (i) \displaystyle \frac{1+3x}{x-2}>2
(b) \displaystyle \frac{x+4}{2+x}<0    (j) \displaystyle \frac{4x-7}{2-x}\leq3
(c) \displaystyle \frac{2x+3}{x-2}>0 (k) \dfrac{x+5}{2x-1}>3
(d) \displaystyle \frac{5-x}{x-2\pi}\geq0 (l) \displaystyle \dfrac{x+3}{2x-1}<3
(e) \displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{5}-2x}\leq0 (m) \displaystyle \frac{x-2}{x+5}<2
(f) \dfrac{2x-3}{x+1}\leq0 (n) \dfrac{x+2}{x-4}\le-2
(g) \displaystyle \frac{x-1}{x+1}\leq1 (o) \dfrac{2x-2}{x-6}>1
(h) \displaystyle \frac{1-2x}{2-x}<2 (p) \dfrac {4x} {x-3}-\dfrac {3}{2}>\dfrac {7x} {x-3}
Řešení Ukázat

 

Příklad 2

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \displaystyle \frac{8x-2}{x^2+4}>0 (b) \displaystyle \frac{x-3}{x+5}<x
(c) \displaystyle \frac{3}{x-1}<\frac{5}{x+1} (d) \displaystyle \frac{x+3}{x-5}+x\geq0
(e) \displaystyle \frac{x}{x-2}-\frac{3}{x+1}\leq1 (f) \displaystyle \frac{3x-1}{x+5}-\frac{2x}{x-3}<1
(g) \displaystyle x-2+\frac{1}{x-2}\geq-2 (h) \displaystyle \frac{x-2}{x+4}\leq\frac{x+1}{x-3}
(i) \displaystyle \frac{x-1}{x+2}>\frac{x+3}{x-2} (j) \dfrac{x-7}{x+2}-\dfrac{x+1}{x-3}\ge0
(k) x-7+\dfrac{48}{x+4}\le5 (l) x+2>\dfrac{5}{x-2}
(m) \dfrac{2x+1}{x+1}>\dfrac{x+4}{x-2} (n) \dfrac{2x-1}{x-2}>\dfrac{x-1}{x+3}
Řešení Ukázat

 

Příklad 3

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \dfrac{x^2-16}{x^2-4}\le0 (f) \displaystyle \frac{x^2+x-6}{x+3}\leq5
(b) \displaystyle \frac{x-x^2}{x^2+x-2}\leq0 (g) \displaystyle \frac{x}{4}-\frac{1}{x}\le\frac{x}{2}+1
(c) \displaystyle \frac{x^2+x-42}{x+1}\geq0 (h) \displaystyle \frac{2}{x}\geq\frac{1}{x^2+1}
(d) \displaystyle \frac{x^2-x-6}{x-5}\geq0 (i) \displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}\geq1
(e) \displaystyle \frac{x^2+3x-10}{x-1}<0 (j) \displaystyle \frac{4x^2-5x-1}{2x^2-5x+3}<1
Řešení Ukázat

 

Příklad 4

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \dfrac{8x^2-25}{x^2-4}\le7 (d) \dfrac{x^2+99}{x-1}\ge-18 
(b) \dfrac{x^2+2x}{x^2-4x+5}<0 (e) \left(x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\le3\sqrt{2}\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)
(c) \dfrac{x^2-64}{x^2-5x}\ge0 (f) \dfrac{4x^2+3x-4}{x^2+x+1}<2
Řešení Ukázat

 

Příklad 5

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \displaystyle \frac{1}{x+1}>\frac{1}{x-2} (g) \displaystyle \frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}<-\dfrac1x
(b) \displaystyle \frac{x^2+1}{x+2}<\frac{x+5}{2} (h) \displaystyle \frac{2x}{x^2+1}-\frac{1}{x+1}\leq0
(c) \displaystyle \frac{2x-1}{x+2}-\frac{x+3}{x-1}>1 (i) \displaystyle \frac{1-x}{x+1}+1\geq\frac{2}{x}
(d) \displaystyle \frac{x+3}{x-3}+\frac{x+4}{x-4}\geq2 (j) \displaystyle x>3+\frac{7}{x+3}
(e) \displaystyle \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}<\frac{10}{3} (k) \displaystyle \frac{1}{x^2+4x+12}\geq\frac{1}{20}
(f) \displaystyle \frac{1-2x}{1+x}-\frac{1+x}{1+2x}\geq1 (l) \displaystyle \frac{3}{x}>\frac{10}{x^2+1}
Řešení Ukázat

 

Příklad 6

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \displaystyle\frac{x-5}{(2x-1)(x - 3)}\geq 0 (f) \dfrac{x^2-5}x\ge x+1
(b) \displaystyle\frac{x-5}{(2x+1)(x - 3)}\geq 0 (g) \dfrac1{x+2}+\dfrac2{x+3}<\dfrac3{x+2}
(c) \dfrac{x-2}{(x^2+3)(x-4)}>0 (h) \dfrac1{x^2-2x-15}>\dfrac1{x^2-x-2}
(d) \dfrac{5x^2+13x+6}{x^3+2x^2+x}\ge0 (i) \dfrac{x^3+15}{x^3+8}\le2
(e) \displaystyle\frac{x^2+x+2}{x^3-2x^2-15x}\leq0 (j) (x+1)^3\le\dfrac1{x+1}
Řešení Ukázat

 

Příklad 7

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \dfrac{4-x}{x-5}>\dfrac1{1-x} (g) \dfrac{x^3-2x^2-5x+6}{x-2}\ge0
(b) \dfrac1x<\dfrac x{4-x^2} (h) \dfrac{x^4-2x^2-8}{x^2+2x+1}<0
(c) \dfrac1{2(x-3)^2}>\dfrac2{x^2} (i) \dfrac{x+3}{x^2-4}-\dfrac{1}{x+2}<\dfrac{2x}{2x-x^2}
(d) \dfrac{15}{4+3x-x^2}>1 (j) \dfrac{11x^2-5x+6}{x^2+5x+6}-x<0
(e) \dfrac{x^3-x^2+x-1}{x+8}\le0 (k) \dfrac{2-x}{x^3+x^2}>\dfrac{1-2x}{x^3-3x^2}
(f) \dfrac{x^3+3x^2-x-3}{x^2+3x-10}<0 (l) \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x^2-x+1}\le\dfrac{1-2x}{x^3+1}
Řešení Ukázat

 

Příklad 8

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \dfrac{x^2+x-42}{x-1}\geq0 (g) \dfrac{x^4-16}{x^3+2x^2+4x+8}\geq-6
(b) \dfrac{(x^2+10x+15)(x-6)}{3x(4-7x-2x^2)}<0 (h) \dfrac{x^3-2x^2-x+2}{x^2-3x+2}\leq5
(c) \dfrac{x^3+2x^2-3x}{-x^2+2x-3}<0 (i) \dfrac{x^4-12x^2+32}{x^2+2(\sqrt{2}-1)x-4\sqrt{2}}\leq0
(d) \dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{x^2-4}\leq0 (j) \dfrac{x^2-2x+3}{x^2+4x+5}<1-2x

(e) \dfrac{(x-1)(x-10)^2}{x^3}\le0

(k) \dfrac{1}{2x^2+3x}\le\dfrac{1}{3x-2x^3}
(f) \dfrac{x^2+10x-36}{x(x-3)^2}\geq0 (l) \dfrac{1}{2x^2-x}\le\dfrac{1}{2x^3-x}
Řešení Ukázat

 

Příklad 9

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) -1\le\dfrac{2x}{x+3}<1 (b) -1<\dfrac{x-8}x<1
Řešení Ukázat

 

Příklad 10

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \dfrac{x}{1+\displaystyle\frac{1}{x+1}}>0 (b) \dfrac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\leq1
Řešení Ukázat

 

Příklad 11

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) \displaystyle \left(\frac{3}{x-2}+3x \right)\cdot\left(1-\frac{1}{x^2-2x+1}\right)\leq9 (b) \displaystyle \left(\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x} \right)\cdot\left(\frac{3+x^2}{4}-x^2\right)<6
(c) \dfrac{x^6-x^4+2}{(x^2-8x+15)^2\cdot(x^2-4x+1)}<0 (d) \dfrac{x^8-2x^4+1}{(x^2+x+12)^2\cdot(x^2-2x-4)}<0
Řešení Ukázat

 

Příklad12

V množině reálných čísel řešte soustavu nerovnic

\begin{cases}\dfrac1{x+1}>0\\x^3-x^2<0\end{cases}

Řešení Ukázat