Příklad 1

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\dfrac{6x+18}{7x}\le0$	(i) $\displaystyle \frac{1+3x}{x-2}>2$
(b) $\displaystyle \frac{x+4}{2+x}<0$	(j) $\displaystyle \frac{4x-7}{2-x}\leq3$
(c) $\displaystyle \frac{2x+3}{x-2}>0$	(k) $\dfrac{x+5}{2x-1}>3$
(d) $\displaystyle \frac{5-x}{x-2\pi}\geq0$	(l) $\displaystyle \dfrac{x+3}{2x-1}<3$
(e) $\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{5}-2x}\leq0$	(m) $\displaystyle \frac{x-2}{x+5}<2$
(f) $\dfrac{2x-3}{x+1}\leq0$	(n) $\dfrac{x+2}{x-4}\le-2$
(g) $\displaystyle \frac{x-1}{x+1}\leq1$	(o) $\dfrac{2x-2}{x-6}>1$
(h) $\displaystyle \frac{1-2x}{2-x}<2$	(p) $\dfrac {4x} {x-3}-\dfrac {3}{2}>\dfrac {7x} {x-3}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in[-3;0)$ (b) $x\in(-4;-2)$ (c) $x\in(-\infty;-\frac32)\cup(2;\infty)$ (d) $x\in[5;2\pi)$ (e) $x\in(-\infty;-1]\cup(\frac{\sqrt5}2;\infty)$ (f) $x\in(-1;\frac32]$ (g) $x\in(-1;\infty)$ (h) $x\in(-\infty;2)$ (i) $x\in(-\infty;-5)\cup(2;\infty)$ (j) $x\in(-\infty;\frac{13}7]\cup(2;\infty)$ (k) $x\in(\frac12;\frac85)$ (l) $x\in(-\infty;\frac12)\cup(\frac65;\infty)$ (m) $x\in(-\infty;-12)\cup(-5;\infty)$ (n) $x\in[2;4)$ (o) $x\in(-\infty;-4)\cup(6;\infty)$ (p) $x\in(1;3)$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in[-3;0)$ (b)

$x\in(-4;-2)$ (c)

$x\in(-\infty;-\frac32)\cup(2;\infty)$ (d)

$x\in[5;2\pi)$ (e)

$x\in(-\infty;-1]\cup(\frac{\sqrt5}2;\infty)$ (f)

$x\in(-1;\frac32]$ (g)

$x\in(-1;\infty)$ (h)

$x\in(-\infty;2)$ (i)

$x\in(-\infty;-5)\cup(2;\infty)$ (j)

$x\in(-\infty;\frac{13}7]\cup(2;\infty)$ (k)

$x\in(\frac12;\frac85)$
(l)

$x\in(-\infty;\frac12)\cup(\frac65;\infty)$ (m)

$x\in(-\infty;-12)\cup(-5;\infty)$ (n)

$x\in[2;4)$ (o)

$x\in(-\infty;-4)\cup(6;\infty)$ (p)

$x\in(1;3)$

Příklad 2

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\displaystyle \frac{8x-2}{x^2+4}>0$	(b) $\displaystyle \frac{x-3}{x+5}<x$
(c) $\displaystyle \frac{3}{x-1}<\frac{5}{x+1}$	(d) $\displaystyle \frac{x+3}{x-5}+x\geq0$
(e) $\displaystyle \frac{x}{x-2}-\frac{3}{x+1}\leq1$	(f) $\displaystyle \frac{3x-1}{x+5}-\frac{2x}{x-3}<1$
(g) $\displaystyle x-2+\frac{1}{x-2}\geq-2$	(h) $\displaystyle \frac{x-2}{x+4}\leq\frac{x+1}{x-3}$
(i) $\displaystyle \frac{x-1}{x+2}>\frac{x+3}{x-2}$	(j) $\dfrac{x-7}{x+2}-\dfrac{x+1}{x-3}\ge0$
(k) $x-7+\dfrac{48}{x+4}\le5$	(l) $x+2>\dfrac{5}{x-2}$
(m) $\dfrac{2x+1}{x+1}>\dfrac{x+4}{x-2}$	(n) $\dfrac{2x-1}{x-2}>\dfrac{x-1}{x+3}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in(\frac14;\infty)$ (b) $x\in(-5;-3)\cup(-1;\infty)$ (c) $x\in(-1;1)\cup(4;\infty)$ (d) $x\in([1;3]\cup(5;\infty)$ (e) $x\in(-1;2)\cup[8;\infty)$ (f) $x\in(-5;\frac9{11})\cup(3;\infty)$ (g) $x\in\{1\}\cup(2;\infty)$ (h) $x\in(-4;\frac15]\cup(3;\infty)$ (i) $x\in(-\infty;-2)\cup(-\frac12;2)$ (j) $x\in(-\infty;-2)\cup[\frac{19}{13};3)$ (k) $x\in(-\infty;-4)\cup[0;8]$ (l) $x\in(-3;2)\cup(3;\infty)$ (m) $x\in(-\infty;-1)\cup(4-\sqrt{22};2)\cup(4+\sqrt{22};\infty)$ (n) $x\in(-\infty;-4-\sqrt{21})\cup(-3;-4+\sqrt{21})\cup(2;\infty)$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in(\frac14;\infty)$ (b)

$x\in(-5;-3)\cup(-1;\infty)$ (c)

$x\in(-1;1)\cup(4;\infty)$ (d)

$x\in([1;3]\cup(5;\infty)$ (e)

$x\in(-1;2)\cup[8;\infty)$
(f)

$x\in(-5;\frac9{11})\cup(3;\infty)$ (g)

$x\in\{1\}\cup(2;\infty)$ (h)

$x\in(-4;\frac15]\cup(3;\infty)$ (i)

$x\in(-\infty;-2)\cup(-\frac12;2)$
(j)

$x\in(-\infty;-2)\cup[\frac{19}{13};3)$ (k)

$x\in(-\infty;-4)\cup[0;8]$ (l)

$x\in(-3;2)\cup(3;\infty)$
(m)

$x\in(-\infty;-1)\cup(4-\sqrt{22};2)\cup(4+\sqrt{22};\infty)$ (n)

$x\in(-\infty;-4-\sqrt{21})\cup(-3;-4+\sqrt{21})\cup(2;\infty)$

Příklad 3

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\dfrac{x^2-16}{x^2-4}\le0$	(f) $\displaystyle \frac{x^2+x-6}{x+3}\leq5$
(b) $\displaystyle \frac{x-x^2}{x^2+x-2}\leq0$	(g) $\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{1}{x}\le\frac{x}{2}+1$
(c) $\displaystyle \frac{x^2+x-42}{x+1}\geq0$	(h) $\displaystyle \frac{2}{x}\geq\frac{1}{x^2+1}$
(d) $\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x-5}\geq0$	(i) $\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}\geq1$
(e) $\displaystyle \frac{x^2+3x-10}{x-1}<0$	(j) $\displaystyle \frac{4x^2-5x-1}{2x^2-5x+3}<1$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in[-4;-2)\cup(2;24]$ (b) $x\in(-\infty;-2)\cup[0;1)\cup(1;\infty)$ (c) $x\in[-7;-1)\cup[6;\infty)$ (d) $x\in[-2;3]\cup(5;\infty)$ (e) $x\in(-\infty;-5)\cup(1;2)$ (f) $x\in(-\infty;-3)\cup(-3;7]$ (g) $x\in\{-2\}\cup(0;\infty)$ (h) $x\in(0;\infty)$ (i) $x\in[-1;\frac{1-\sqrt5}2)\cup(\frac{1+\sqrt5}2;\infty)$ (j) $x\in(-\sqrt2;1)\cup(\sqrt2;\frac32)$

Příklad 4

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\dfrac{8x^2-25}{x^2-4}\le7$	(d) $\dfrac{x^2+99}{x-1}\ge-18$
(b) $\dfrac{x^2+2x}{x^2-4x+5}<0$	(e) $\left(x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\le3\sqrt{2}\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$
(c) $\dfrac{x^2-64}{x^2-5x}\ge0$	(f) $\dfrac{4x^2+3x-4}{x^2+x+1}<2$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in(-2;2)$ (b) $x\in(-2;0)$ (c) $x\in(-\infty;-8]\cup(0;5)\cup[8;\infty)$ (d) $x\in\{-9\}\cup(1;\infty)$ (e) $x\in\{\sqrt2\}$ (f) $x\in(-2;\frac32)$

Příklad 5

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\displaystyle \frac{1}{x+1}>\frac{1}{x-2}$	(g) $\displaystyle \frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}<-\dfrac1x$
(b) $\displaystyle \frac{x^2+1}{x+2}<\frac{x+5}{2}$	(h) $\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}-\frac{1}{x+1}\leq0$
(c) $\displaystyle \frac{2x-1}{x+2}-\frac{x+3}{x-1}>1$	(i) $\displaystyle \frac{1-x}{x+1}+1\geq\frac{2}{x}$
(d) $\displaystyle \frac{x+3}{x-3}+\frac{x+4}{x-4}\geq2$	(j) $\displaystyle x>3+\frac{7}{x+3}$
(e) $\displaystyle \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}<\frac{10}{3}$	(k) $\displaystyle \frac{1}{x^2+4x+12}\geq\frac{1}{20}$
(f) $\displaystyle \frac{1-2x}{1+x}-\frac{1+x}{1+2x}\geq1$	(l) $\displaystyle \frac{3}{x}>\frac{10}{x^2+1}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in(-1;2)$ (b) $x\in(-\infty;-2)\cup(-1;8)$ (c) $x\in(-\infty;-2)\cup(-\frac13;1)$ (d) $x\in(3;\frac{24}7]\cup(4;\infty)$ (e) $x\in(-\infty;-2)\cup(-1;1)\cup(2;\infty)$ (f) $x\in(-1;-\frac12)$ (g) $x\in(-1;0)\cup(1;\infty)$ (h) $x\in(-\infty;-1-\sqrt2]\cup(-1;\sqrt2-1]$ (i) $x\in(-1;0)$ (j) $x\in(-4;-3)\cup(4;\infty)$ (k) $x\in[-2-2\sqrt3;2\sqrt3-2]$ (l) $x\in(0;\frac13)\cup(3;\infty)$

Příklad 6

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\displaystyle\frac{x-5}{(2x-1)(x - 3)}\geq 0$	(f) $\dfrac{x^2-5}x\ge x+1$
(b) $\displaystyle\frac{x-5}{(2x+1)(x - 3)}\geq 0$	(g) $\dfrac1{x+2}+\dfrac2{x+3}<\dfrac3{x+2}$
(c) $\dfrac{x-2}{(x^2+3)(x-4)}>0$	(h) $\dfrac1{x^2-2x-15}>\dfrac1{x^2-x-2}$
(d) $\dfrac{5x^2+13x+6}{x^3+2x^2+x}\ge0$	(i) $\dfrac{x^3+15}{x^3+8}\le2$
(e) $\displaystyle\frac{x^2+x+2}{x^3-2x^2-15x}\leq0$	(j) $(x+1)^3\le\dfrac1{x+1}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in(\frac12;3)\cup[5;\infty)$ (b) $x\in(-\frac12;3)\cup[5;\infty)$ (c) $x\in(-\infty;2)\cup(4;\infty)$ (d) $x\in([-2;-1)\cup(-1;-\frac35]\cup(0;\infty)$ (e) $x\in(-\infty;-3)\cup(0;5)$ (f) $x\in[-5;0)$ (g) $x\in(-\infty;-3)\cup(-2;\infty)$ (h) $x\in(-13;-3)\cup(-1;2)\cup(5;\infty)$ (i) $x\in(-\infty;-2)\cup[-1;\infty)$ (j) $x\in(-\infty;-2]\cup(-1;0]$

Příklad 7

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\dfrac{4-x}{x-5}>\dfrac1{1-x}$	(g) $\dfrac{x^3-2x^2-5x+6}{x-2}\ge0$
(b) $\dfrac1x<\dfrac x{4-x^2}$	(h) $\dfrac{x^4-2x^2-8}{x^2+2x+1}<0$
(c) $\dfrac1{2(x-3)^2}>\dfrac2{x^2}$	(i) $\dfrac{x+3}{x^2-4}-\dfrac{1}{x+2}<\dfrac{2x}{2x-x^2}$
(d) $\dfrac{15}{4+3x-x^2}>1$	(j) $\dfrac{11x^2-5x+6}{x^2+5x+6}-x<0$
(e) $\dfrac{x^3-x^2+x-1}{x+8}\le0$	(k) $\dfrac{2-x}{x^3+x^2}>\dfrac{1-2x}{x^3-3x^2}$
(f) $\dfrac{x^3+3x^2-x-3}{x^2+3x-10}<0$	(l) $\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x^2-x+1}\le\dfrac{1-2x}{x^3+1}$

Řešení	Ukázat
() $x\in(1;5)-\{3\}$ (b) $x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;2)$ (c) $x\in(2;6)-\{3\}$ (d) $x\in(-1;4)$ (e) $x\in(-8;1]$ (f) $x\in(-\infty;-5)\cup(-3;-1)\cup(1;2)$ (g) $x\in(-\infty;-2]\cup[1;2)\cup[3;\infty)$ (h) $x\in(-2;2)-\{-1\}$ (i) $x\in(-\infty;-\frac92)\cup(-2;0)\cup(0;2)$ (j) $x\in(-3;-2)\cup(1;2)\cup(3;\infty)$ (k) $x\in(-\infty;-7)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(3;\infty)$ (l) $x\in(-\infty;2]-\{-1\}$

Řešení

Ukázat

()

$x\in(1;5)-\{3\}$ (b)

$x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;2)$ (c)

$x\in(2;6)-\{3\}$ (d)

$x\in(-1;4)$ (e)

$x\in(-8;1]$ (f)

$x\in(-\infty;-5)\cup(-3;-1)\cup(1;2)$ (g)

$x\in(-\infty;-2]\cup[1;2)\cup[3;\infty)$ (h)

$x\in(-2;2)-\{-1\}$ (i)

$x\in(-\infty;-\frac92)\cup(-2;0)\cup(0;2)$ (j)

$x\in(-3;-2)\cup(1;2)\cup(3;\infty)$ (k)

$x\in(-\infty;-7)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(3;\infty)$ (l)

$x\in(-\infty;2]-\{-1\}$

Příklad 8

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\dfrac{x^2+x-42}{x-1}\geq0$	(g) $\dfrac{x^4-16}{x^3+2x^2+4x+8}\geq-6$
(b) $\dfrac{(x^2+10x+15)(x-6)}{3x(4-7x-2x^2)}<0$	(h) $\dfrac{x^3-2x^2-x+2}{x^2-3x+2}\leq5$
(c) $\dfrac{x^3+2x^2-3x}{-x^2+2x-3}<0$	(i) $\dfrac{x^4-12x^2+32}{x^2+2(\sqrt{2}-1)x-4\sqrt{2}}\leq0$
(d) $\dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{x^2-4}\leq0$	(j) $\dfrac{x^2-2x+3}{x^2+4x+5}<1-2x$
(e) $\dfrac{(x-1)(x-10)^2}{x^3}\le0$	(k) $\dfrac{1}{2x^2+3x}\le\dfrac{1}{3x-2x^3}$
(f) $\dfrac{x^2+10x-36}{x(x-3)^2}\geq0$	(l) $\dfrac{1}{2x^2-x}\le\dfrac{1}{2x^3-x}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in[-7;1)\cup[6;\infty)$ (b) $x\in(-\infty-5-\sqrt{10})\cup(-4;-5+\sqrt{10})\cup(0;\frac12)\cup(6;\infty)$ (c) $x\in(-3;0)\cup(1;\infty)$ (d) $x\in(-\infty;-3]\cup(-2;2)\cup(2;3]$ (e) $x\in(0;1]\cup\{10\}$ (f) $x\in[-5-\sqrt{61};0)\cup[-5+\sqrt{61};3)\cup(3;\infty)$ (g) $x\in[-4;\infty)-\{-2\}$ (h) $x\in(-\infty;4]-\{1;2\}$ (i) $x\in[-2;2\sqrt2]-\{2\}$ (j) $x\in(-\infty;\frac{-3-\sqrt{13}}2)\cup(-1;\frac{-3+\sqrt{13}}2)$ (k) $x\in(-\frac32;-\sqrt{\frac32})\cup[-1;0)\cup(0;\sqrt{\frac32})$ (l) $x\in(-\frac{\sqrt2}2;0)\cup(0;\frac12)\cup(\frac{\sqrt2}2;1]$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in[-7;1)\cup[6;\infty)$ (b)

$x\in(-\infty-5-\sqrt{10})\cup(-4;-5+\sqrt{10})\cup(0;\frac12)\cup(6;\infty)$ (c)

$x\in(-3;0)\cup(1;\infty)$ (d)

$x\in(-\infty;-3]\cup(-2;2)\cup(2;3]$ (e)

$x\in(0;1]\cup\{10\}$ (f)

$x\in[-5-\sqrt{61};0)\cup[-5+\sqrt{61};3)\cup(3;\infty)$ (g)

$x\in[-4;\infty)-\{-2\}$ (h)

$x\in(-\infty;4]-\{1;2\}$ (i)

$x\in[-2;2\sqrt2]-\{2\}$ (j)

$x\in(-\infty;\frac{-3-\sqrt{13}}2)\cup(-1;\frac{-3+\sqrt{13}}2)$ (k)

$x\in(-\frac32;-\sqrt{\frac32})\cup[-1;0)\cup(0;\sqrt{\frac32})$ (l)

$x\in(-\frac{\sqrt2}2;0)\cup(0;\frac12)\cup(\frac{\sqrt2}2;1]$

Příklad 9

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a)

$-1\le\dfrac{2x}{x+3}<1$

(b)

$-1<\dfrac{x-8}x<1$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in[-1;3)$ (b) $x\in(4;\infty)$

Příklad 10

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a)

$\dfrac{x}{1+\displaystyle\frac{1}{x+1}}>0$

(b)

$\dfrac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\leq1$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in(-2;-1)\cup(0;\infty)$ (b) $x\in(-\infty;-1)\cup(-1;-\frac12)\cup(0;\infty)$

Příklad 11

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\displaystyle \left(\frac{3}{x-2}+3x \right)\cdot\left(1-\frac{1}{x^2-2x+1}\right)\leq9$	(b) $\displaystyle \left(\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x} \right)\cdot\left(\frac{3+x^2}{4}-x^2\right)<6$
(c) $\dfrac{x^6-x^4+2}{(x^2-8x+15)^2\cdot(x^2-4x+1)}<0$	(d) $\dfrac{x^8-2x^4+1}{(x^2+x+12)^2\cdot(x^2-2x-4)}<0$