Příklad 1
Řešte rovnice s parametrem a proměnnou
.
(a) ![]() |
(b) ![]() |
(c) ![]() |
(d) ![]() |
(e) ![]() |
(f) ![]() |
(g) ![]() |
(h) ![]() |
(i) ![]() |
(j) ![]() |
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 2
Řešte rovnice s parametrem a proměnnou
.
(a) ![]() |
(b) ![]() |
(c) ![]() |
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 3
(a) Rovnice má jeden kořen
. Určete parametr
.
(b) Kvadratická rovnice má jeden kořen
. Určete druhý kořen.
(c) Jeden kořen rovnice je
. Určete druhý kořen této rovnice.
(d) Určete parametr v rovnici
, když víte, že
. Určete také
.
(e) Určete všechny hodnoty parametru , pro které má rovnice
řešení
. Určete také
.
(f) Rovnice s parametem
má jeden kořen
. Určete hodnotu parametru a druhý kořen.
(g) Pro které hodnoty parametru má rovnice
s (neznámou
) nulový kořen?
(h) Rovnice má jedno řešení
. Určete druhý kořen.
(i) Kvadratická rovnice má jeden kořen nulový pro dvě hodnoty parametru
. Určete součet těchto hodnot.
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 4
(a) Rovnice má jeden dvojnásobný kořen. Určete hodnotu
.
(b) Určete, pro jakou hodnotu parametru má rovnice
v množině reálných čísel jeden dvojnásobný kořen?
(c) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby rovnice
měla právě jedno řešení.
(d) Určete parametr tak, aby rovnice
měla právě jeden kořen.
(e) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby rovnice
měla právě jedno řešení.
(f) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby rovnice
měla právě jedno řešení.
(g) Pro které hodnoty parametru má rovnice
právě jeden kořen?
(h) Určete všechny hodnoty parametru , pro které má rovnice
(i) Rovnice

Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 5
(a) Pro které hodnoty parametru má rovnice
dva různé reálné kořeny?
(b) Pro které hodnoty parametru má rovnice
dva různé reálné kořeny?
(c) Pro které hodnoty parametru má rovnice
s neznámou
dva různé reálné nenulové kořeny?
(d) Určete všechna , pro která má rovnice
dvě různá reálná řešení.
(e) Určete všechny hodnoty parametru , pro které má rovnice
dvě různá reálná řešení.
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 6
(a) Pro které hodnoty parametru nemá rovnice
žádný reálný kořen?
(b) Určete hodnotu parametru tak, aby rovnice
neměla žádné reálné řešení.
(c) Pro které hodnoty parametru nemá rovnice
žádné reálné řešení?
(d) Pro které hodnoty parametru nemá rovnice
žádné reálné řešení?
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 7
(a) Pro které hodnoty parametru má rovnice
dvě navzájem různá kladná řešení?
(b) Pro které hodnoty parametru jsou oba (různé) kořeny rovnice
kladné?
(c) Určete parametr rovnice tak, aby rovnice měla dvě navzájem různá kladná řešení?
(d) Určete parametr tak, aby rovnice
měla dva kořeny stejných znamének.
(e) Pro které hodnoty parametru mají kořeny rovnice
stejná znaménka?
(f) Je dána rovnice . Určete všechny hodnoty parametru
tak, aby kořeny dané rovnice byla dvě navzájem opačná čísla.
(g) Pro které hodnoty parametru jsou kořeny rovnice
opačná čísla? Určete tyto kořeny.
(h) Pro které hodnoty parametru je jeden kořen rovnice
kladný a druhý kořen záporný?
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 8
(a) Pro které hodnoty parametru je jeden kořen rovnice
dvakrát větší než druhý?
(b) Pro které hodnoty parametru je jeden kořen rovnice
dvakrát větší než druhý?
(c) Pro které hodnoty parametru je jeden kořen rovnice
dvakrát větší než druhý?
(d) Určete hodnotu parametru tak, aby pro kořeny rovnice
platilo, že
.
(e) Určete, pro jaké je jeden kořen rovnice
roven čtyřnásobku druhého.
(f) Pro které hodnoty parametru má rovnice
jeden kořen o dvě větší než druhý?
(g) Určete parametr rovnice
tak, aby pro kořeny rovnice platilo
.
(h) Pro které hodnoty parametru splnují kořeny rovnice
vztah
?
(i) Určete všechny hodnoty parametru , pro které splňují kořeny rovnice

(j) Pro které hodnoty parametru



(k) Pro které hodnoty parametru


(l) Pro které hodnoty parametru


(m) Pro které hodnoty parametru


(n) Pro které hodnoty parametru


(o) Pro které hodnoty parametru


(p) Pro které hodnoty parametru



(q) Určete parametr



(r) Určete parametr


(s) Určete parametr



Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 9
(a) Určete počet řešení pro rovnice
v závislosti na parametru
.
(b) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby platilo
.
(c) Určete všechny hodnoty parametru , pro které má rovnice
kořeny
.
(d) Pro které hodnoty parametru splnují kořeny rovnice
podmínky
,
?
(e) Pro které hodnoty parametru mají rovnice
a
jeden společný kořen?
(f) Pro které hodnoty parametru mají rovnice
a
jeden společný kořen?
(g) Pro které hodnoty parametru mají rovnice
a
jeden společný kořen? Určete tento kořen.
(h) Pro které hodnoty parametru mají rovnice
a
jeden společný kořen?
(i) Rovnice a
mají právě jeden společný kořen. Určete hodnotu parametru
.
(j) Dvě různé rovnice a
(
) mají právě jeden společný kořen. Vypočítejte druhý kořen rovnice
.
(k) Pro které hodnoty parametru je součet druhých mocnin kořenů rovnice
nejmenší?
(l) Určete koeficienty kvadratické rovnice (
,
) tak, aby její kořeny byly rovny
a
.
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 10
(a) Za předpokladu, že a
,
jsou kořeny rovnice
, vyjádřete
.
(b) Když ,
jsou dvě různá řešení rovnice
, určete hodnotu výrazu
(c) Čísla a
jsou kořeny rovnice
. Vypočítejte
.
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 11
(a) Napište kvadratickou rovnici jejíž jeden kořen je roven součtu a druhý součinu kořenů rovnice (
).
(b) Napište kvadratickou rovnici jejíž kořeny jsou o 1 vetší než kořeny rovnice (
). (c) Napište kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou převrácená čísla ke kořenům rovnice
.
(d) Student při řešení kvadratické rovnice zaměnil koeficienty u kvadratického a absolutního členu. Novou rovnici vyřešil správně a dostal kořeny 1 a 2. Víme, že původní rovnice měla také jeden z kořenů 1. Napište původní rovnici.
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 12
(a) Pro kolik reálných čísel má kvadratická rovnice
dva celočíselné kořeny?
(b) Určete počet všech reálných čísel , pro než má rovnice
dva různé kořeny v množine sudých přirozených čísel.
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 13
(a) Pro které hodnoty parametru má rovnice
právě tři reálná řešení?
(b) Je dána rovnice Určete hodnotu parametru
, když
(i) rovnice nemá žádné reálné řešení, (ii) rovnice má právě dvě reálná řešení.
(c) Určete všechny hodnoty parametru , pro které má rovnice
právě čtyři reálná řešení.
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 14
(a) Určete parametr tak, aby výraz
byl dělitelný výrazem
.
(b) Určete parametr tak, aby výraz
byl dělitelný výrazem
.
(c) Určete parametr tak, aby výraz
byl dělitelný výrazem
.
(d) Pro které hodnoty parametru je výraz
beze zbytku dělitelný výrazem
?
Řešení | Ukázat> |
---|---|
Příklad 15
Nechť ,
jsou prvočísla taková, že rovnice
má racionální kořeny. Určete součet
.
Řešení | Ukázat> |
---|---|