Soustavy s parametrem

Příklad 1

V množine \mathbb R^2 řešte rovnice s neznámými x,y a s parametrem a\in\mathbb R:
 
(a) \begin{cases}ax+8y=2\\2x+ay=1\end{cases} (b) \begin{cases}ax+9y=3\\x+ay=1\end{cases}
(c) \begin{cases}ax+2y=2\\x+2ay=2\end{cases} (d) \begin{cases}ax+y=1\\9x+ay=3\end{cases}
(e) \begin{cases}3(ax-1) = -y\\3(ay-1) = -x\end{cases}  
Řešení Ukázat


 Příklad 2    

Určete hodnotu parametru m\in\mathbb{R} tak, aby řešením soustavy byla dvě kladná čísla.
(a) \left\{\begin{array}{l}x+y=2\\2x-3y=m\end{array}\right. (b) \begin{cases} x+my=3m\\mx+9y=6\end{cases}
(c) \begin{cases}mx+y=2m+1\\x+my=1\end{cases} (d) \begin{cases}2mx+3y=1\\mx+(1-3m)y=-1\end{cases}
(e) \left\{\begin{array}{l}x-y=2\\mx+y=3\end{array}\right.  
Řešení Ukázat

 

Příklad 3

Pro které hodnoty parametru c\in\mathbb R nemá soustava \displaystyle\left\{\begin{array}{l}3x-4y=7\\x+cy=13\end{array}\right. řešení?
 
Řešení Ukázat
 
 

Příklad 4

Soustava \displaystyle \left\{\begin{array}{l}ax+3y=1\\5x+ay=b\end{array}\right. má nekoněčně mnoho řešení. Určete parametry a a b.
 
Řešení Ukázat
 

Příklad 5

Pro které hodnoty parametru k\in\mathbb R má soustava \begin{cases}y=kx\\y=|x-\pi|\end{cases} právě dvě reálná řešení?
 
Řešení Ukázat
 
 

Příklad 6

Určete hodnotu parametru k\in\mathbb R tak, aby soustava rovnic \begin{cases}y=kx-5\\y=\frac12x^2-5x+3\end{cases} měla právě jedno řešení.
 
Řešení Ukázat
 

Příklad 7

Určete hodnotu parametru k\in\mathbb R tak, aby pro řešení soustavy \begin{cases}kx+y=1\\4x+ky=2\end{cases} platilo x<y.
 
Řešení Ukázat
 

Příklad 8

Určete všechny dvojice [x;y]\in\mathbb{N}^2, pro které platí  \dfrac{1}{p+x}+\dfrac{1}{p+y}+5=\dfrac{1+5p}{p},   kde p je prvočíslo.
 
Řešení Ukázat
 
 

Příklad 9

Určete všechny hodnoty parametru a\in\mathbb R, pro které soustava \begin{cases}y=x^2-3x+3a\\y=x+2|a-2|\end{cases} nemá řešení.
 
Řešení Ukázat
 

Příklad 10

Určete všechny hodnoty parametru q\in\mathbb R, pro které má soustavy \begin{cases}x^2+y^2=1\\ x+3y=q\end{cases} právě jedno řešení, které leží v 1. kvadrantu.
 
Řešení Ukázat