Příklad 1

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a) $4\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=2$	(b) $8\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{8}\right)=4\sqrt3$	(c) $\sqrt2\sin\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=1$
(d) $4\sqrt3\cos\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{12}$	(e) $\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}=1$	(f) $6\,\mathrm{cotg} \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{12}$
(g) $\sqrt{6}\,\mathrm{cotg}\left(\dfrac{x}{2}\pi\right)=\sqrt{18}$	(h) $\mathrm{tg}\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	(i) $\mathrm{tg}\,3x=\dfrac{\sqrt3}{3}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\}$ (b) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac{\pi}{48}+k\pi;\frac{7\pi}{48}+k\pi\}$ (c) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{3\pi}{2}+4k\pi\}$ (d) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi3+4k\pi;\pi+4k\pi\}$ (e) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+2k\pi\}$ (f) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+\frac\pi2k\}$ (g) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac13+2k\}$ (h) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+\frac\pi2k\}$ (i) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi{18}+\frac\pi2k\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\}$ (b)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac{\pi}{48}+k\pi;\frac{7\pi}{48}+k\pi\}$ (c)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{3\pi}{2}+4k\pi\}$ (d)

$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi3+4k\pi;\pi+4k\pi\}$ (e)

$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+2k\pi\}$ (f)

$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+\frac\pi2k\}$ (g)

$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac13+2k\}$ (h)

$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+\frac\pi2k\}$ (i)

$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi{18}+\frac\pi2k\}$

Příklad 2

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a)

$\sin x+2=3-\sin x$

(b)

$\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}=3$

(c)

$\dfrac{\mathrm{tg}\,x+1}{\mathrm{tg}\,x-1}=2+\sqrt3$

Řešení	Ukázat
(a) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (b) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (c) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+k\pi\}$

Příklad 3

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a) $2\sin^2x-\sin x=0$	(b) $\sin^2x-3\sin x-10=0$
(c) $4\sin^2x+8\sin x+3=0$	(d) $\cos x(2\cos x+1)=1$
(e) $\sqrt3\,\mathrm{tg}^2x+2\,\mathrm{tg}\,x-\sqrt3=0$	(f) $\mathrm{tg}^2x+\sqrt3\,\mathrm{tg}\,x-\mathrm{tg}\,x-\sqrt3=0$
(g) $\mathrm{cotg}^3x=\mathrm{cotg}\,x$	(h) $2\cos^2x+ 5\cos x - 3=0$
(i) $\sqrt{3}\,\mathrm{cotg}^2 x - 4\,\mathrm{cotg}\,x + \sqrt{3} =0$	(j) $(\sin x + \cos x)^2+(\sin x - \cos x)^2 = 2$
(k) $2\sin^2x+\sin x=0$	(l) $\cos^2x-6\cos x+5=0$
(m) $2\cos x+5=\dfrac{3}{\cos x}$	(n) $\cos x+\dfrac {1} {\cos x}=2$
(o) $\sin^2x+2\sin x-3=0$	(p) $2\cos^2x-7\cos x+3=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (b) $x\in\emptyset$ (c) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{7\pi}6+2k\pi;\frac{11\pi}6+2k\pi\}$ (d) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi;\pi+2k\pi\}$ (e) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+\frac\pi2k\}$ (f) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\pi;\frac{2\pi}3+k\pi\}$ (g) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi;\frac\pi4+k\frac\pi2\}$ (h) $\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+k\pi\}$ (i) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+k\pi;\frac\pi3+k\pi\}$ (j) $x\in\mathbb R$ (k) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac{7\pi}6+2k\pi;\frac{11\pi}6+2k\pi\}$ (l) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2k\pi\}$ (m) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+k\pi\}$ (n) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2k\pi\}$ (o) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+2k\pi\}$ (p) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (b)

$x\in\emptyset$ (c)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{7\pi}6+2k\pi;\frac{11\pi}6+2k\pi\}$ (d)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi;\pi+2k\pi\}$ (e)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+\frac\pi2k\}$ (f)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\pi;\frac{2\pi}3+k\pi\}$ (g)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi;\frac\pi4+k\frac\pi2\}$ (h)

$\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+k\pi\}$ (i)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+k\pi;\frac\pi3+k\pi\}$ (j)

$x\in\mathbb R$ (k)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac{7\pi}6+2k\pi;\frac{11\pi}6+2k\pi\}$ (l)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2k\pi\}$ (m)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+k\pi\}$ (n)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2k\pi\}$ (o)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+2k\pi\}$ (p)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$

Příklad 4

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a) $6\sin^2x-7\cos x-1=0$	(b) $3\sin x=2\cos^2x$
(c) $2\sqrt3\sin^2x=\cos x$	(d) $\sin^2x+\cos x+1=0$
(e) $3\cos^2x-4\cos x-\sin^2x-2=0$	(f) $\cos2x+\sin x =0$
(g) $\cos^2x-\cos2x-\sin x=\dfrac34$	(h) $\mathrm{tg}\,x-\mathrm{cotg}\,x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
(i) $17\sin^2x-3\cos^2x=2$	(j) $\mathrm{tg}\,x+\mathrm{cotg}\,x=-2$
(k) $-2\sin^2x+\cos x=-1+2\cos x$	(l) $2(1-\sin x)-\sin x=\cos^2x-1$
(m) $\mathrm{tg}\,x(\mathrm{tg}^2x+\sqrt3\,\mathrm{tg}\,x-1)=\sqrt3$	(n) $\cos x+\cos 2x=\frac{\sqrt2}2$
(o) $\dfrac{\sqrt3}{\cos^2x}-\mathrm{tg} x-\sqrt3=0$	(p) $\dfrac{3\sin x}{\cos^2x}-2=0$
(q) $2\mathrm{cotg}^2x+4\sin^2x=7$	(r) $\cos 2x=\sin x$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (b) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (c) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi6+2k\pi\}$ (d) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pi+2k\pi\}$ (e) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\}$ (f) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+2k\pi;\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (g) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (h) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+k\pi;\frac{5\pi}6+k\pi\}$ (i) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+k\pi;\frac{5\pi}6+k\pi\}$ (j) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}4+k\pi\}$ (k) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{2\pi}3+2k\pi;2k\pi\}$ (l) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+2k\pi\}$ (m) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\frac\pi2;\frac{2\pi}3+k\pi\}$ (n) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi4+2k\pi\}$ (o) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi6+k\pi\}$ (p) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (q) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+k\pi;\frac{5\pi}6+k\pi\}$ (r) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi;\frac{3\pi}2+2k\pi\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (b)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (c)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi6+2k\pi\}$ (d)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pi+2k\pi\}$ (e)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\}$ (f)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+2k\pi;\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (g)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (h)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+k\pi;\frac{5\pi}6+k\pi\}$ (i)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+k\pi;\frac{5\pi}6+k\pi\}$ (j)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}4+k\pi\}$ (k)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{2\pi}3+2k\pi;2k\pi\}$ (l)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+2k\pi\}$ (m)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\frac\pi2;\frac{2\pi}3+k\pi\}$ (n)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi4+2k\pi\}$ (o)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi6+k\pi\}$ (p)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (q)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+k\pi;\frac{5\pi}6+k\pi\}$ (r)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi;\frac{3\pi}2+2k\pi\}$

Příklad 5

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a) $2\mathrm{tg}^2x+\cos^2x=1$	(b) $2\sin x\cdot\mathrm{tg}\,x+4\cos x=5$
(c) $2\,\mathrm{tg}\,x-3\,\mathrm{cotg}\,x=1$	(d) $2\sin^2x-5\cos x-4=0$
(e) $\dfrac{2\sin^2x}{3\cos x}=1$	(f) $\dfrac{\sin^2x}{\mathrm{tg}\,x}+\cos^2x\cdot\mathrm{tg}\,x=1$
(g) $\mathrm{cotg}^2{x}+4\cdot \cos^2{x}-3=0$	(h) $2\cos^2x -3\sin x=0$
(i) $8 \cos x + 1 = -4 \sin^2x$	(j) $(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) = -\sin x$
(k) $\cos x+2\cos 2x=1$	(l) $2\cos^2x=2+\tan x$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi\}$ (b) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (c) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\text{arctg}\,(\frac32)+k\pi;\frac{3\pi}4+k\pi\}$ (d) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\}$ (e) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (f) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\pi\}$ (g) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\frac\pi2\}$ (h) () $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (i) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (j) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}2+2k\pi;\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (k) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pi+2k\pi;\pm\arccos(\frac34)+2k\pi\}$ (l) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}4+k\pi;k\pi\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi\}$ (b)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (c)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\text{arctg}\,(\frac32)+k\pi;\frac{3\pi}4+k\pi\}$ (d)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\}$ (e)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (f)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\pi\}$ (g)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\frac\pi2\}$ (h) ()

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (i)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (j)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}2+2k\pi;\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (k)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pi+2k\pi;\pm\arccos(\frac34)+2k\pi\}$ (l)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}4+k\pi;k\pi\}$

Příklad 6

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a) $\sin2x=\sin x$	(b) $\sin2x=\cos x$
(c) $\sin2x=\mathrm{tg}\,x$	(d) $\sin^3x=\sin x$
(e) $\cos x+\sin 2x=0$	(f) $2\sin ^{3}x-3\sin x\cos x=0$
(g) $\dfrac{\sin2x}{\sin x}=0$	(h) $\dfrac{\cos 2 x}{\sin x}=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (b) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi;\frac{\pi}6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (c) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi4+k\frac\pi2\}$ (d) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi2+k\pi\}$ (e) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi;\frac{7\pi}6+2k\pi;\frac{11\pi}6+2k\pi$ (f) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (g) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi\}$ (h) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\frac\pi2\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (b)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi;\frac{\pi}6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$ (c)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi4+k\frac\pi2\}$ (d)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi2+k\pi\}$ (e)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi;\frac{7\pi}6+2k\pi;\frac{11\pi}6+2k\pi$ (f)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac\pi3+2k\pi\}$ (g)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi\}$ (h)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\frac\pi2\}$

Příklad 7

(a) $2\sin\dfrac x4\cos\dfrac x4 +6\sin \dfrac x4=0$	(b) $9\cos\dfrac x2=4\sin x$
(c) $\cos^3x+\dfrac12\cos^2x-\cos x=\dfrac12$	(d) $\sin\dfrac{x}{2} + \cos x = 1$
(e) $\sqrt3\mathrm{tg}\,x=2\sin x$	(f) $\cos x+\sin x=0$
(g) $4\sin^3x+4\sin^2x-3\sin x=3$	(h) $\mathrm{tg}\,x+\mathrm{tg}^2x=0$
(i) $2\sin x\cos5x=\sqrt2\sin x$	(j) $\sin^2x-\cos^2x=0$
(k) $\sin2x+\cos2x=0$	(l) $\sin^2x - \sqrt{3}\sin x \cos x = 0$
(m) $\sqrt{3}\cos^2x -\sin x\cos x=0$	(n) $\sin^2x-\cos^2x=\frac12$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{4k\pi\}$ (b) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pi+2k\pi\}$ (c) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\}$ (d) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2k\pi;\frac\pi3+4k\pi;\frac{5\pi}3+4k\pi\}$ (e) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac\pi6+2k\pi\}$ (f) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}4+k\pi\}$ (g) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}2+2k\pi;\frac\pi3+k\pi;\frac{2\pi}3+k\pi\}$ (h) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}4+k\pi;k\pi\}$ (i) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac\pi{20}+\frac25k\pi\}$ (j) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\frac\pi2\}$ (k) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}8+k\frac\pi2\}$ (l) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi3+k\pi\}$ (m) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi;\frac\pi3+k\pi\}$ (n) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+4k\pi\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{4k\pi\}$ (b)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pi+2k\pi\}$ (c)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac{2\pi}3+2k\pi\}$ (d)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2k\pi;\frac\pi3+4k\pi;\frac{5\pi}3+4k\pi\}$ (e)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac\pi6+2k\pi\}$ (f)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}4+k\pi\}$ (g)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}2+2k\pi;\frac\pi3+k\pi;\frac{2\pi}3+k\pi\}$ (h)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}4+k\pi;k\pi\}$ (i)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\pm\frac\pi{20}+\frac25k\pi\}$ (j)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi4+k\frac\pi2\}$ (k)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}8+k\frac\pi2\}$ (l)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi3+k\pi\}$ (m)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2+k\pi;\frac\pi3+k\pi\}$ (n)

$x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi3+4k\pi\}$

Příklad 8

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a)

$|\sin x|=2+\sin x$

(b)

$|\sin x-2|=\cos^2x+1$

(c)

$|\cos x|=2-\cos^2x$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{3\pi}2+2k\pi\}$ (b) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi2+2k\pi\}$ (c) $x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi\}$

rovnice

Velká kniha rovnic

Goniometrické rovnice I

Příklad 1

Příklad 2

Příklad 3

Příklad 4

Příklad 5

Příklad 6

Příklad 7

Příklad 8