Příklad 1
V množině reálných čísel řešte rovnici:
.
Řešení |
Ukázat> |
Aby rovnice měla smysl, musí platit  . Za této podmínky můžeme rovnici upravit ![\sqrt{x+4+2\sqrt{x+3}}-\sqrt[3]{x^2+4x+3}=1\\ \sqrt{(\sqrt{x+3}+1)^2}-\sqrt[3]{x^2+4x+3}=1\\ |\sqrt{x+3}+1|-\sqrt[3]{x^2+4x+3}=1\\ \sqrt{x+3}=\sqrt[3]{(x+3)(x+1)}](http://vkr.rubesz.cz/wp-content/plugins/latex/cache/tex_7919992769885bd88e8f80ea1843505f.gif)
nyní umocníme rovnici na šestou 
Zkouškou se snadno přesvědčíme, že  nevyhovuje.
Řešení: .
|
Příklad 2
V množině reálných čísel řešte rovnici:
.
Řešení |
Ukázat> |
Aby rovnice měla smysl, musí platit  . Tento interval rozdělíme na tři části:
(a) . Rovnice přejde na tvar 
Ani jeden z kořenů není v požadovaném intervalu.
(b) Rovnice přejde na tvar 
Ani jeden z kořenů není v požadovaném intervalu.
(c) Rovnice přejde na tvar 
V daném intervalu leží kořen  .
Řešení rovnice:
|
Příklad 3
V množině reálných čísel řešte rovnici:
.
Řešení |
Ukázat> |
Řešení rovnice musí splňovat podmínky 
Rovnice (1) má tři kořeny  ,  .
Kořen triviálně porušuje podmínku (2).
Kořen porušuje podmínku (3), protože 
Kořen vyhovuje podmínkám a je řešením rovnice.
|
Příklad 4
V množině reálných čísel řešte rovnice:
(a)
|
(b)
|
Řešení |
Ukázat> |
(a) Pro  a  rovnici můžeme upravit 
(i) 
Rovnice nemá řešení.
(ii) 
Úvodním podmínkám vyhovují oba kořeny, ale zkouškou zjistíme, že rovnici vyhovuje jen kořen  .
(b)
|
Příklad 5
V množině reálných čísel řešte rovnice:
(a)
|
(b)
|
Řešení |
Ukázat> |
(a) Podmínky: 
Zavedením substituce  dostaneme  a  . Rovnice přejde na tvar 
a umocněním 
Oba kořeny vyhovují.
(b)
|
Příklad 6
V množině reálných čísel řešte rovnice:
(a)
|
(b)
|
Řešení |
Ukázat> |
(a) Podmínky:  . Celou rovnici vynásobíme výrazem  . 
Vzhledem k úvodní podmímce kořen s "mínus" nevyhovuje.
Řešení:
(b)
|
Příklad 7
V množině reálných čísel řešte rovnici:
.
Řešení |
Ukázat> |
Při řešení pomůže zajímavá substituce  . Pak  ,  a  . Rovnice přejde na tvar 
Když nyní označíme  , bude  a rovnici můžeme přepsat 
Protože se stačí omezit na první periodu, dostáváme 
První kořen 
Druhý kořen se bohužel hezkým způsobem upravit nedá 
Oba kořeny vyhovují, i když provést zkoušku pro  je docela problém.
|
Příklad 8
V množině reálných čísel řešte rovnici:
.
Řešení |
Ukázat> |
Zavedem substituci  a  . Rovnice pak přejde na soustavu 
Odečtením a dalšími úpravami dostaneme ![ab(2a^2+3ab+2b^2)=87\\ ab(2a^2+4ab+2b^2-ab)=87\\ ab[2(a+b)^2-ab]=87\\ ab(32-ab)=87\\ (ab)^2-32ab+87=0\\ (ab-29)(ab-3)=0](http://vkr.rubesz.cz/wp-content/plugins/latex/cache/tex_062c80643a2d4b70a1af127e5c7834cc.gif)
Původní soustava tak přejde na 
což dává kořeny 
Návratem k původní proměnné dostaneme 
Oba kořeny vyhovují.
|