Aby rovnice měla smysl, musí platit $x+3\ge0\ \Rightarrow\ x\ge-3$. Za  této podmínky můžeme rovnici upravit

$$\sqrt{x+4+2\sqrt{x+3}}-\sqrt[3]{x^2+4x+3}=1\\ \sqrt{(\sqrt{x+3}+1)^2}-\sqrt[3]{x^2+4x+3}=1\\ |\sqrt{x+3}+1|-\sqrt[3]{x^2+4x+3}=1\\ \sqrt{x+3}=\sqrt[3]{(x+3)(x+1)}$$

nyní umocníme rovnici na šestou

$$(x+3)^3=(x+3)^2(x+1)^2\\ (x+3)^2(x^2+2x+1-x-3)=0\\ (x+3)^2(x+2)(x-1)=0\\ x_1=-3\quad x_2=-2\quad x_3=1$$

Zkouškou se snadno přesvědčíme, že $x_2$ nevyhovuje.

Řešení: $x\in\{-3;1\}$.

Aby rovnice měla smysl, musí platit $3x+18\ge0\ \Rightarrow\ x\ge-6$. Tento interval rozdělíme na tři části:

(a) $-6\le x<-\frac{14}3$. Rovnice přejde na tvar

$$3x+2(x-2)=3\sqrt{3x+18}+2(\sqrt{3x+18}-2)\\ 5x=5\sqrt{3x+18}\\ x^2=3x+18\\ (x-6)(x+3)=0\\ x_1=6\ \vee\ x_2=-3$$

Ani jeden z kořenů není v požadovaném intervalu.

(b) $-\frac{14}3\le x<2$ Rovnice přejde na tvar

$$3x+2(x-2)=3\sqrt{3x+18}-2(\sqrt{3x+18}-2)\\ 5x-8=\sqrt{3x+18}\\ 25x^2-80x+64=3x+18\\ 25x^2-83x+46=0\\ x_{1,2}=\dfrac{83\pm\sqrt{2289}}{50}$$

Ani jeden z kořenů není v požadovaném intervalu.

(c) $2\le x<\infty)$ Rovnice přejde na tvar

$$3x-2(x-2)=3\sqrt{3x+18}-2(\sqrt{3x+18}-2)\\ x=\sqrt{3x+18}\\ x^2-3x-18=0\\ x_1=6\ \vee\ x_2=-3$$

V daném intervalu leží kořen $x=6$.

Řešení rovnice: $x=6$

Řešení rovnice musí splňovat podmínky

$$\begin{cases}|x^3|-|5x|=0&(1)\\ 2x^2-4x-1\ge0&(2)\\ \sqrt{2x^2-4x-1}-|x|+2\ne0&(3)\end{cases}$$

Rovnice (1) má tři kořeny $x_1=0$, $x_{2,3}=\pm\sqrt5$.

Kořen $x_1$ triviálně porušuje podmínku (2).

Kořen $x_2=\sqrt5$ porušuje podmínku (3), protože

$$\sqrt{10-4\sqrt5-1}-\sqrt5+2=\sqrt{5-4\sqrt5+4}-\sqrt5+2=\sqrt{(\sqrt5-2)^2}-\sqrt5+2=\sqrt5-2-\sqrt5+2=0$$

Kořen $x_3=-\sqrt5$ vyhovuje podmínkám a je řešením rovnice.

(a) Pro $x\ge-1$ a $x\ne0$ rovnici můžeme upravit

$$2\sqrt{x+1}=x+1-\dfrac3x\\ 2x\sqrt{x+1}=x^2+x-3\\ x^2-2x\sqrt{x+1}+x+1=4\\ (x-\sqrt{x+1})^2=4\\ x-\sqrt{x+1}=\pm2$$

(i)

$$x-\sqrt{x+1}=-2\\ x^2+4x+4=x+1\\ x^2+3x+3=0$$

Rovnice nemá řešení.

(ii)

$$x-\sqrt{x+1}=2\\ x^2-4x+4=x+1\\ x^2-5x+3=0\\ x_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}2$$

Úvodním podmínkám vyhovují oba kořeny, ale zkouškou zjistíme, že rovnici vyhovuje jen kořen $x_{1}=\dfrac{5+\sqrt{13}}2$.

(b) $x\in\{\frac{\sqrt5-1}2;\frac{3+\sqrt{13}}2\}$

(a) Podmínky:

$$\begin{cases}4x+1<0\\ (x+1)(1-2x)\ge0\end{cases}\ \Rightarrow\ -1\le x<-\frac14$$

Zavedením substituce $4x+1=t<0$ dostaneme $x+1=\frac{3+t}4$ a $1-2x=\frac{3-t}2$. Rovnice přejde na tvar

$$t\sqrt{\dfrac{3+t}4\cdot\dfrac{3-t}2}=-1$$

a umocněním

$$t^2(9-t^2)=8\\ t^4-9t^2+8=0\\ (t^2-8)(t^2-1)=0\\ t_1=-2\sqrt2\ \vee\ t_2=-1\\ x_1=-\dfrac{2\sqrt2+1}4\ \vee\ x_2=-\dfrac12$$

Oba kořeny vyhovují.

(b) $x\in\{\frac{9+\sqrt{17}}4;\frac{11+\sqrt{17}}4\}$

(a) Podmínky: $x\ge1$. Celou rovnici vynásobíme výrazem $\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}$.

$$(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1})(x+3\sqrt{x-1}+3)=9\ \qquad|\cdot(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1})\\ (x+2-x+1)(x+3\sqrt{x-1}+3)=9(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1})\\ x+3=3\sqrt{x+2}\\ x^23+6x+9=9x+18\\ x^2-3x-9=0\\ x_{1,2}=\dfrac{3\pm3\sqrt5}2$$

Vzhledem k úvodní podmímce kořen s "mínus" nevyhovuje.

Řešení: $x=\dfrac{3+3\sqrt5}2$

(b) $x=\dfrac{5+3\sqrt5}2$

Při řešení pomůže zajímavá substituce $x=\cos\theta$. Pak $\sqrt{1-x}=\sqrt2\sin\frac\theta2$, $\sqrt{1+x}=\sqrt2\cos\frac\theta2$ a $\sqrt{1-x^2}=\sin\theta$. Rovnice přejde na tvar

$$5\sqrt2\left(\sin\frac\theta2+\cos\frac\theta2\right)=6\cos\theta+8\sin\theta\qquad|:10\\ \frac{\sqrt2}2\sin\frac\theta2+\frac{\sqrt2}2\cos\frac\theta2=\frac35\cos\theta+\frac45\sin\theta$$

Když nyní označíme $\frac35=\cos\alpha$, bude $\frac45=\sin\alpha$ a rovnici můžeme přepsat

$$\cos\frac\theta2\cos\frac\pi4+\sin\frac\theta2\sin\frac\pi4=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\\ \cos\left(\frac\theta2-\frac\pi4\right)=\cos\left(\theta-\alpha\right)$$

Protože se stačí omezit na první periodu, dostáváme

$$\frac\theta2-\frac\pi4=\theta-\alpha\quad\vee\quad \frac\theta2-\frac\pi4=\alpha-\theta\\ \theta=2\alpha-\frac\pi2\quad\vee\quad\theta=\frac23\alpha+\frac\pi6$$

První kořen

$$x_1=\cos\theta=\cos\left(2\alpha-\frac\pi2\right)=\sin2\alpha=2\sin\left(\arcsin\left(\frac45\right)\right)\cos\left(\arccos\left(\frac35\right)\right)=\frac{24}{25}$$

Druhý kořen se bohužel hezkým způsobem upravit nedá

$$x_2=\cos\left(\frac23\arccos\left(\frac35\right)+\frac\pi6\right)\approx0{,}4159623$$

Oba kořeny vyhovují, i když provést zkoušku pro $x_2$ je docela problém.

Zavedem substituci $x+27=a^4$ a $55-x=b^4$. Rovnice pak přejde na soustavu

$$\begin{cases}a+b=4\\a^4+b^4=82\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^4+b^4=256\\a^4+b^4=82\end{cases}$$

Odečtením a dalšími úpravami dostaneme

$$ab(2a^2+3ab+2b^2)=87\\ ab(2a^2+4ab+2b^2-ab)=87\\ ab[2(a+b)^2-ab]=87\\ ab(32-ab)=87\\ (ab)^2-32ab+87=0\\ (ab-29)(ab-3)=0$$

Původní soustava tak přejde na

$$\begin{cases}a+b=4\\ab=3\end{cases}\qquad\vee\qquad\begin{cases}a+b=4\\ab=29\end{cases}$$

což dává kořeny

$$\begin{cases}a=3\\ b=1\end{cases}\qquad\vee\qquad\begin{cases}a=1\\b=3\end{cases}$$

Návratem k původní proměnné dostaneme

$$x_1=-26\qquad\vee\qquad x_2=54$$

Oba kořeny vyhovují.