(a) $[x;y]\in\{[0;2];[3;-1]\}$ (b) $[x;y]\in\{[6;3]\}$ (c) $[x;y]\in\{[-1;1];[4;11]\}$ (d) $[x;y]\in\{[-\frac{13}{16};\frac54];[2;5]\}$
(e) $[x;y]\in\{[-\frac12;-\frac34];[1;0]\}$ (f) $[x;y]\in\{[-2;-4];[10;0]\}$

(a) $[x;y]\in\{[-1;2];[2;-1]\}$ (b) $[x;y]\in\{[1;4];[4;1]\}$ (c) $[x;y]=\{[-\sqrt5;-\sqrt5];[\sqrt5;\sqrt5]\}$ (d) $[x;y]\in\{[\frac{131}{79};-\frac{102}{79}];[1;2]\}$ (e) $[x;y]\in\{[-2;0];[\frac{17}5;\frac95]\}$ (f) $[x;y]\in\{[-6;-2];[-4;-4]\}$ (g) $[x;y]\in\{[0;-2];[\pm1;-1]\}$
(h) $[x;y]\in\{[-2;\pm1];[-1;\pm2];[1;\pm2];[2;\pm1]\}$ (i) $[x;y]\in\{[2;2];[-3;57]\}$ (j) $[x;y]=\{[2;6];[5;3]\}$

$[m;n]=[0;3]$

(a) $[x;y]\in\{[-2;6];[6;-2]\}$ (b) $[x;y]\in\emptyset$ (c) $[x;y]\in\{[-2;17];[17;-2]\}$
(d) $[x;y]\in\{[1-\sqrt3;-1-\sqrt];[1+\sqrt3;\sqrt3-1]\}$ (e) $[x;y]\in\{[-2;-7];[7;2]\}$ (f) $[x;y]\in\{[7;3];[-4;-\frac{21}4]\}$
(g) $[x;y]\in\{[7;5];[-\frac{15}2;-\frac{14}3]\}$ (h) $[x;y]\in\{[5;3]\}$

(a) $[x;y]\in\{[-15;-45];[15;45]\}$ (b) $[x;y]\in\{[-3;-\frac13];[7;3]\}$ (c) $[x;y]\in\{[-3;-\frac43];[1;0]\}$ (d) $[x;y]\in\{[\frac17;\frac{18}7];[2;-3]\}$ (e) $[x;y]\in\{[-\frac{5+3\sqrt{17}}2;\frac{15+3\sqrt{17}}2];[\frac{-5+3\sqrt{17}}2;\frac{15-3\sqrt{17}}2]\}$ (f) $[x;y]\in\{[-\frac85;-\frac25];[-1;2]\}$ (g) $[x;y]\in\{[2;3]\}$
(i) $[x;y]\in\{[-1;2];[-\frac{184}{21};-\frac{79}{42}]\}$ (j) $[x;y]\in\{[1;-1];[12;\frac92]\}$
(h) $[x;y]\in\{[3-\sqrt5;2-\sqrt5];[3+\sqrt5;2+\sqrt5]\}$ (k) $[x;y]\in\{[-4;5];[\frac12;2]\}$ (l) $[x;y]\in\{[4;8];[\frac{12}5;\frac{12}5]\}$
(m) $[x;y]\in\{[4;-3];[4;3]\}$ (n) $[x;y]\in\{[\pm\sqrt{6-2\sqrt3};1-2\sqrt3];[\pm\sqrt{6+2\sqrt3};1+2\sqrt3]\}$

(a) $[x;y]\in\{[-3;\pm2];[3;\pm2]\}$ (b) $[x;y]\in\{[-6;\pm9];[6;\pm9]\}$ (c) $[x;y]\in\{[-4;\pm2];[2;\pm2]\}$
(d) $[x;y]\in\{[-\frac{\sqrt{43}}2;\pm\frac{3\sqrt{11}}2];[\frac{\sqrt{43}}2;\pm\frac{3\sqrt{11}}2]\}$ (e) $[x;y]\in\{[-15\sqrt{\frac2{53}};\pm12\sqrt{\frac5{53}}];[15\sqrt{\frac2{53}};\pm12\sqrt{\frac5{53}}]\}$
(f) $[x;y]\in\{[-\frac12;\pm1];[\frac12;\pm1]\}$ (g) $[x;y]\in\{[-\sqrt{30};\pm\sqrt{89}];[\sqrt{30};\pm\sqrt{89}]\}$ (h) $[x;y]\in\{[-1;\pm2]\}$
(i) $[x;y]\in\{[-3;0];[\frac{57}{13};\pm\frac{16\sqrt3}{13}\}$ (j) $[x;y]\in\{[4;3];[5;0]\}$ (k) $[x;y]\in\{[1;2];[\frac73;\frac43]\}$
(l) $[x;y]\in\{[\frac{11-\sqrt7}8;\frac{11+\sqrt7}8];[\frac{11+\sqrt7}8;\frac{11-\sqrt7}8]\}$ (m) $[x;y]\in\{[-\frac95;\frac35];[1;2]\}$ (n) $[x;y]\in\{[-\frac52;-\frac32];[1;2]\}$

(a) $[x;y]\in\{[\frac{-1-\sqrt5}2;\frac{-1-\sqrt5}2];[\frac{-1+\sqrt5}2;\frac{-1+\sqrt5}2]\}$ (b) $[x;y]\in\{[\frac{-1-\sqrt{29}}2;\frac{-1-\sqrt{29}}2];[\frac{-1+\sqrt{29}}2;\frac{-1+\sqrt{29}}2]\}$
(c) $[x;y]\in\{[\frac{1-\sqrt{77}}2;\frac{1+\sqrt{77}}2];[\frac{1+\sqrt{77}}2;\frac{1-\sqrt{77}}2]\}$ (d) $[x;y]\in\{[0;2];[2;0];[-1-\sqrt5;-1-\sqrt5];[-1+\sqrt5;-1+\sqrt5]\}$

(e) Tato rovnice se dá řešit přímo,

$$\begin{cases}x^2+y^2=5\\ xy=2\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}x^2+y^2=5\\ y=\dfrac2x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2+\dfrac4{x^2}=5\\ y=\dfrac2x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^4-5x^2+4=0\\ y=\dfrac2x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(x^2-4)(x^2-1)=0\\ y=\dfrac2x\end{cases}\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} [x;y]=[2;1]\\ [x;y]=[-2;-1]\\ [x;y]=[1;2]\\ [x;y]=[-1;-2]\end{array}\right.$$

protože v průběhu řešení vznikla jednoduchá bikvadratická rovnice. Ve složitějších případech tomu tak nebývá, a proto bývá efektivnější použít druhý postup.

Zavedeme substituci $x+y=a$, $xy=b$

$$\begin{cases}x^2+y^2=5\\ xy=2 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a^2-2b=5\\ b=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a^2=9\\b=2 \end{cases}\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases}x+y=3\\xy=2 \end{cases}\\ \begin{cases}x+y=-3\\ xy=2 \end{cases}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} [x;y]=[2;1]\\ [x;y]=[1;2]\\ [x;y]=[-2;-1]\\ [x;y]=[-1;-2]\end{array}\right.$$

(f) $[x;y]\in\{[-4;-3];[-3;-4];[3;4];[4;3]\}$ (g) $[x;y]\in\{[-5;3];[-3;5];[3;-5];[5;-3]\}$

(h) U tohoto typu soustavy pomáhá jiný postup (kromě přímého dosazení). První rovnici vynásobíme 35, druhou 24 a rovnice odečteme. Soustava tak přejde na tvar

$$\begin{cases}x^2-y^2=24&|\cdot35\\-\\xy=35&|\cdot24\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}35x^2-24xy-35y^2=0\\xy=35\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(7x+5y)(5x-7y)=0\\xy=35\end{cases}\Rightarrow\\ \Rightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{cases}y=-\frac75x\\ xy=35\end{cases}\\ \begin{cases}y=\frac57x\\ xy=35\end{cases}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}[x;y]=[7;5]\\ [x;y]=[-7;-5]\end{array}\right.$$

Další šikovný postup je substituce $y=kx$. To lze v případě, kdy $[0;0]$ není řešením soustavy.

$$\begin{cases}x^2-kx^2=24\\ kx^2=35\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2=\dfrac{24}{1-k^2}&(1)\\ x^2=\dfrac{35}k&(2)\end{cases}$$

Porovnáním obou rovnic získáme kvadratickou rovnici

$$\dfrac{24}{1-k^2}=\dfrac{35}k\\ 35k^2+24k-35=0$$

jejímž řešením dostaneme $k$, z $(2)$ pak $x$ a z úvodní substituce $y$.

(a) $[x;y]\in\{[\frac12;1];[1;2]\}$ (b) $[x;y]\in\{[2;\frac13];[3;\frac12\}$ (c) $[x;y]\in\{[-1;1],[1;-1];[1;2];[2;1]\}$ (d) $[x;y]\in\{[1;3];[3;1]\}$
(e) $[x;y]\in\{[-1;2];[2;-1]\}$ (f) $[x;y]\in\{[-\frac{1+\sqrt{33}}2;\frac{\sqrt{33}-1}2];[\frac{\sqrt{33}-1}2;-\frac{1+\sqrt{33}}2]\}$ (g) $[x;y]\in\{[\frac12;\frac13]\}$
(h) $[x;y]\in\{[3-\sqrt3;3+\sqrt3];[3+\sqrt3;3-\sqrt3]\}$ (i) $[x;y]\in\{[0;2];[2;0]\}$ (j) $[x;y]\in\{[5;3]\}$
(k) $[x;y]\in\{[-\frac95;-\frac{16}5];[\frac95;\frac{16}5]\}$ (l) $[x;y]\in\{[3;5];[5;3]\}$ (m) $[x;y]\in\{[-1;-9];[4\pm2\sqrt2;8]\}$
(n) $[x;y]\in\{[-4;1];[1;-4];[1;2];[2;1]\}$ (o) $[x;y]\in\{[-5;-2];[-3;-4];[1;4];[3;2]\}$
(p) $[x;y]\in\{[-3;-3];[2;2];[\frac{1-\sqrt{21}}2;\frac{1+\sqrt{21}}2];[\frac{1+\sqrt{21}}2;\frac{1-\sqrt{21}}2]\}$

(a) $[x;y]\in\{[-2;-1];[-\frac12;-\frac32];[\frac12;\frac32];[2;1]\}$ (b) $[x;y]\in\{[-5;-2];[5;2]\}$ (c) $[x;y]\in\{[-3;-2];[3;2]\}$
(d) $[x;y]\in\{[-7;-3];[7;3]\}$ (e) $[x;y]\in\{[-36;\frac{23}2];[-3;-5];[2;5];[36;-\frac{23}2]\}$
(f) $[x;y]\in\{[-3;-2];[3;2];[-\frac{\sqrt3}3;-\frac{5\sqrt3}3][\frac{\sqrt3}3;\frac{5\sqrt3}3];\}$ (g) $[x;y]\in\{[-6;2];[-2;-4];[2;4];[6;-2]\}$
(h) $[x;y]\in\{[-4;1];[0;\pm\sqrt{21}];[4;-1]\}$ (i) $[x;y]\in\{[-4;2];[4;-2];[-2\sqrt{\frac73};-4\sqrt{\frac73}];[2\sqrt{\frac73};4\sqrt{\frac73}]\}$
(j) $[x;y]\in\{[-4\sqrt2;-\sqrt2];[4\sqrt2;\sqrt2]\}$ (k) $[x;y]\in\{[-2;-1];[2;1];[-\frac{\sqrt{13}}2;-\frac{\sqrt{13}}2];[\frac{\sqrt{13}}2;\frac{\sqrt{13}}2]\}$ (l) $[x;y]\in\{[-2;-1];[2;1]\}$ (m) $[x;y]\in\{[-3;-2];[-2;-3];[2;3];[3;2]\}$ (n) $[x;y]\in\{[-1;2];[1;-2];[-\frac1{\sqrt3};\frac4{\sqrt3}];[\frac1{\sqrt3};-\frac4{\sqrt3}]\}$
(o) $[x;y]\in\{[-5;-1];[5;1]\}$ (p) $[x;y]\in\{[-2;3];[2;-3];[-\sqrt{\frac65};-2\sqrt{\frac65}];[\sqrt{\frac65};2\sqrt{\frac65}]\}$

(a) $[x;y]\in\{[2\pm\sqrt{43};\frac{5\mp4\sqrt{43}}{13}]\}$ (b) $[x;y]\in\{[-48;-5];[40;6]\}$ (c) $[x;y]\in\{[\frac{10}3;\frac23];[4;1]\}$ (d) $[x;y]\in\{[2;3];[3;2]\}$
(e) $[x;y]\in\{[\pm3;0];[0;\pm3]\}$ (f) $[x;y]\in\{[\frac12;\frac13];[2;-\frac23];[3;2];[\frac92;1]\}$ (g) $[x;y]\in\{[-5;-1];[5;1]\}$
(h) $[x;y]\in\{[-3;-2];[3;2]\}$ (i) $[x;y]\in\{[2;4];[4;2]\}$ (j) $[x;y]\in\{[-2;-1];[2;1]\}$ (k) $[x;y]\in\{[-2;-1];[2;1]\}$
(l) $[x;y]\in\{[3;1];[-3;-1]\}$ (m) $[x;y]\in\{[-7;-10];[10;7]\}$
(n) $[x;y]\in\{[-2\sqrt3;-\sqrt3];[2\sqrt3;\sqrt3];[-2\sqrt7;\sqrt7];[2\sqrt7;\sqrt7]\}$ (o) $[x;y]\in\{[-\frac12;\frac12];[\frac12;-\frac12]\}$ (p) $[x;y]\in\{[\frac12;\frac3];[\frac13;\frac12]\}$
(q) $[x;y]\in\{[\frac{10}3;\frac23];[4;1]\}$ (r) $[x;y]\in\{[-2;-3];[2;3]\}$

(a) $x\in\{[3;\pm1];[-\frac53;\pm\frac{\sqrt{65}}3]\}$ (b) $x\in\{[2;-3]\}$ (c) $x\in\{[-5;-3];[5;3]\}$
(d) $x\in\{[-3;-1];[3;1];[-14\sqrt{\frac2{53}};-4\sqrt{\frac2{53}}];[14\sqrt{\frac2{53}};4\sqrt{\frac2{53}}]\}$ (e) $x\in\{[4;1];[\frac4{15};-\frac1{15}]\}$
(f) $x\in\{[2;1];[6;-3];[6-2\sqrt3;2\sqrt3-2];[6+2\sqrt3;-2-2\sqrt3]\}$