Rovnice s absolutní hodnotou

Příklad 1

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $x^2+\|x\|-6=0$	(h) $x^2-6\|x\|+8=0$
(b) $x^2+\|x\|-12=0$	(i) $x^2+\|x-1\|-1=0$
(c) $x^2-2\|x\|-3=0$	(j) $x\cdot\|x+4\|-3x-6=0$
(d) $x^2-3\|x\|-4=0$	(k) $x^2-3\|x+1\|-x=0$
(e) $x^2+\|x+3\|-9=0$	(l) $x\cdot\|x-3\|=2-x$
(f) $x^2+\|x-4\|-16=0$	(m) $9x^{2}-18\left\| x\right\| +5=0$
(g) $x^2-5\|x\|+6=0$	(n) $x^2+4\|x\|=10$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\pm2\}$ (b) $x\in\{\pm3\}$ (c) $x\in\{\pm3\}$ (d) $x\in\{\pm4\}$ (e) $x\in\{-3;2\}$ (f) $x\in\{-3;4\}$ (g) $x\in\{\pm2;\pm3\}$ (h) $x\in\{\pm2;\pm4\}$ (i) $x\in\{-2;1\}$ (j) $x\in\{-6;-3;2\}$ (k) $x\in\{2\pm\sqrt7\}$ (l) $x\in\{2-\sqrt2\}$ (m) $x\in\{\pm\frac13;\pm\frac53\}$ (n) $x\in\{\pm(2-\sqrt{14})\}$

Příklad 2

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $5\|x\|=7-2x^2$	(h) $\|x^2-9\|+\|x-2\|=5$
(b) $\|x^2-3x+3\|=2$	(i) $\|x-x^2-1\|=\|2x-3-x^2\|$
(c) $\|2x-x^2+3\|=2$	(j) $\|x^2-2x-3\|=\|x^2-2x+5\|$
(d) $x^2+3\|x\|+2=0$	(k) $(x+1)(\|x\|-1)=-\frac{1}{2}$
(e) $(x+1)^2-2\|x+1\|+1=0$	(l) $x^2=\|5-4x\|$
(f) $x^2+2x-3\|x+1\|+3=0$	(m) $x^2+x+1=\|4x-1\|$
(g) $x\|x\|+2\sqrt{2}x+2=0$	(n) $\|x-7\|^2+2\|x-7\|=24$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\pm1\}$ (b) $x\in\{\frac{3\pm\sqrt5}{2}\}$ (c) $x\in\{1\pm\sqrt2;1\pm\sqrt6\}$ (d) $x\in\emptyset$ (e) $x\in\{-2;0\}$ (f) $x\in\{-3;-2;0;1\}$ (g) $x\in\{\sqrt2-2\}$ (h) $x\in\{-3;2;\frac{-1+\sqrt{65}}{2}\}$ (i) $x\in\{2\}$ (j) $x=1$ (k) $x\in\{\frac{1}{\sqrt2};-1\pm\frac{1}{\sqrt2}\}$ (l) $x\in\{-5;1\}$ (m) $x\in\{-5;0;1;2\}$ (n) $x\in\{3;11\}$

Příklad 3

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\|x^2-16\|-\|x^2-9\|=7$	(g) $x^2-1=\|2x+3\|$
(b) $x^2-1=\|x^2-3x+1\|$	(h) $\|2x-5\|=x^2-x-2$
(c) $\|x^2-9\|-\|x^2-4\|=1$	(i) $\|x^2+x-14\|=x+11$
(d) $\|x^2-5x\|=6$	(j) $2\cdot\|2x+1\|-1=x^2$
(e) $\|x^2-2x-3\|=x+2$	(k) $\|x^2+4x\|-3x-6=0$
(f) $(\|x\|+1)^2=(4-\|x\|)^2$	(l) $\|x^2+2x-1\|-x=1$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\langle-3;\rangle$ (b) $x\in\{\frac32\}$ (c) $x\in\{\pm\sqrt6\}$ (d) $x\in\{-1;2;3;6\}$ (e) $x\in\{\frac{1\pm\sqrt5}{2}; \frac{1\pm\sqrt{29}}{2}\}$ (f) $x\in\{\pm\frac32\}$ (g) $x\in\{1\pm\sqrt5\}$ (h) $x\in\{-\sqrt7;3\}$ (i) $x\in\{\pm5;-3;1\}$ (j) $x\in\{2\pm\sqrt5;-3;-1\}$ (k) $x\in\{-1;2\}$ (l) $x\in\{0;1\}$

Příklad 4

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\displaystyle \frac{1}{\|x\|-2}+\frac{1}{\|x\|+2}=\frac{x}{48}$	(d) $\displaystyle \frac{\|x^2-4x\|+3}{x^2+\|5-x\|}=1$
(b) $\displaystyle \frac{1}{\|2x-3\|}+8=\frac{2}{\|3-2x\|}$	(e) $\displaystyle \frac{\|x-2\|}{\|x+6\|}=\frac{\|x+1\|}{\|x-4\|}$
(c) $\displaystyle \frac{4x-8}{\|x-2\|}=x$	(f) $\displaystyle \frac{x-3}{x-1}=\|x+2\|$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\langle-3;\rangle$ (b) $x\in\{\frac32\}$ (c) $x\in\{\pm\sqrt6\}$ (d) $x\in\{-1;2;3;6\}$ (e) $x\in\{\frac{1\pm\sqrt5}{2}; \frac{1\pm\sqrt{29}}{2}\}$ (f) $x\in\{\pm\frac32\}$

Příklad 5

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\|x^2-1\|-12x=\|x^2-8x+15\|-12$	(c) $\|x\|(\|x\|-\|x-8\|)+24=0$
(b) $\|x-3\|\cdot(\|x-5\|-\|x-3\|)-6x=0$	(d) $x\cdot\|x\|+\|2x^2-5x\|=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{-1\}$ (b) $x\in\{\frac34\}$ (c) $x\in\{-3\}$ (d) $x\in\{0\}$