Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Příklad 1

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\dfrac{8+x}{8-x}=\dfrac{x}{x-4}$	(c) $\dfrac1x+\dfrac12=x$
(b) $x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{13}{6}$	(d) $x-3=\dfrac{x+3}x$

Řešení	Ukázat
(a) $x=1\pm\sqrt{17}$ , (b) $x\in\{\frac23;\frac32\}$ , (c) $\frac{1\pm\sqrt{17}}4$ , (d) $x=2\pm\sqrt7$

Příklad 2

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\displaystyle \frac{x}{x^2-4}=1$	(h) $\displaystyle\frac{2x}{3x}-\frac{2}{x}-4=\frac{18}{x^2+3x}$
(b) $\displaystyle \frac{5x}{x^2-9}=1$	(i) $\displaystyle \frac{x+5}{2x+2}+\frac{3x-2}{5x+8}=\frac{5}{2}$
(c) $\displaystyle \frac{x}{x+3}-\frac{3}{x-1}+2=0$	(j) $\displaystyle \frac{x+1}{x-2}+\frac{x+2}{x-3}+\frac{3}{x^2-5x+6}=0$
(d) $\displaystyle \frac{x}{x-3}+\frac{4x}{x+7}=1$	(k) $\displaystyle \frac{1}{x+4}+\frac{x^2-20}{x^2-16}=\frac{4}{x-4}$
(e) $\displaystyle \frac{3x+2}{7x-2}=\frac{x-4}{x+4}$	(l) $\displaystyle \frac{1-x}{x-2}-\frac{x-2}{1-x}=-\frac{8}{3}$
(f) $\displaystyle \frac{x}{x-1}-\frac{x-1}{x}=1$	(m) $\displaystyle\frac{x+3}{x-3}=4-\frac{x-1}{x-5}$
(g) $\displaystyle \frac{x^2+2x}{2x^2+2x-4}=1$	(n) $\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{6}{x^2+x-2}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\frac{1\pm\sqrt{17}}2\}$ (b) $x\in\{\frac{5\pm\sqrt{61}}2\}$ (c) $x\in\{\pm\sqrt{5}\}$ (d) $x\in\{0;1\}$ (e) $x\in\{0;11\}$ (f) $x\in\{\frac{3\pm\sqrt5}2\}$ (g) $x\in\{2\}$ (h) $x\in\emptyset$ (i) $x\in\{-2;-\frac17\}$ (j) $x\in\{-1\}$ (k) $x\in\{-5;8\}$ (l) $x\in\{\frac54;\frac52\}$ (m) $x\in\{4;9\}$ (n) $x\in\emptyset$

Příklad 3

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\displaystyle \frac{x^2-16}{x-4}=2x$	(h) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$
(b) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=25$	(i) $\displaystyle 1=\frac{6}{x}-\frac{8}{x(x+3)}$
(c) $\displaystyle 1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}=0$	(j) $\displaystyle x+3=\frac{x+3}{x}$
(d) $\displaystyle \frac{1}{x-1}=x+1$	(k) $\displaystyle \frac{x+1}{x-2}+\frac{x+2}{x-3}=\frac{5}{x^2-5x+6}$
(e) $\displaystyle \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+6}=\frac{5}{2}$	(l) $\displaystyle \frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{x^2-x}+\frac{x^2-2}{x^2-1}=1$
(f) $\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{1}{x-4}$	(m) $\displaystyle \frac{x}{x-2}+\frac{x-2}{x}=\frac{4}{x(x-2)}$
(g) $\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{3}{2}+\frac{2}{x}$	(n) $\displaystyle \frac{2}{x^2-4}+\frac{x-4}{x(x+2)}=\frac{1}{x(x-2)}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\emptyset$ (b) $x\in\{\frac{25\pm3\sqrt{69}}2\}$ (c) $x\in\{2\}$ (d) $x\in\{\pm\sqrt2\}$ (e) $x\in\{-2\pm4\sqrt{\frac{6}{5}}\}$ (f) $x\in\{2;5\}$ (g) $x\in\{-1;4\}$ (h) $x\in\{\frac{3\pm\sqrt5}{2}\}$ (i) $x\in\{-2;5\}$ (j) $x\in\{-3;1\}$ (k) $x\in\{-2\}$ (l) $x\in\emptyset$ (m) $x\in\emptyset$ (n) $x\in\{3\}$

Příklad 4

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{3}{20}$	(h) $\dfrac{2x+2}{3x+7}=\dfrac{3x-2}{2x-7}$
(b) $\dfrac{5-3x}{3-5x}+\dfrac{3-5x}{5-3x}=\dfrac52$	(i) $4x+3=1-\dfrac{2(3x+2)}{x-2}$
(c) $\dfrac{3}{x+2}+\dfrac{5x}{4-x^2}=\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{x}{x^2-4}$	(j) $\dfrac{x-\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3x}{x+\sqrt3}=\sqrt3$
(d) $\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{3x^2-27}=\dfrac{x+4}{6x+18}+\dfrac{5x+2}{30x-90}$	(k) $\dfrac{25+x}{9+x}=\dfrac{13+x}{47-x}$
(e) $\dfrac{7}{2x^2-x}=\dfrac{8}{2x^2+x}-\dfrac{3}{1-4x^2}$	(l) $\dfrac{1}{\frac{1}{x}+1}+\dfrac{1}{x}=2$
(f) $\dfrac{8x}{2x+3}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{2x^2+3x}$	(m) $\dfrac{x-12}{x^2+3x}-\dfrac{2}{x}=\dfrac{5}{x+3}$
(g) $\dfrac{1}{x} - \dfrac{6}{x-1} + \dfrac{6}{x-2} = 0$	(n) $\dfrac{1}{x-1}=x+\dfrac{1}{2}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\frac43;15\}$ (b) $x\in\{\frac17;7\}$ (c) $x\in\emptyset$ (d) $x\in\emptyset$ (e) $x\in\{3\}$ (f) $x\in\emptyset$ (g) $x\in\{-2;-1\}$ (h) $x\in\{-\frac{23}3;0\}$ (i) $x\in\{0\}$ (j) $x\in\{\pm3\}$ (k) $x\in\{\pm23\}$ (l) $x\in\{\frac{-1\pm\sqrt5}2\}$ (m) $x\in\emptyset$ (n) $x\in\{-1;\frac32\}$

Příklad 5

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\dfrac{x}{2+\frac1x}-\dfrac1{8x+4}+\dfrac14=1$

Řešení	Ukázat
(a) $x=2$