Příklad 1

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $(\|x\|-2)(x+1)<0$	(b) $\|x^2-2x-3\|<5-x$
(c) $\|x+1\|>x^2+7x+6$	(d) $x+1\geq\|x^2+4x+3\|$
(e) $x^2\leq\|x^2-2x-3\|$	(f) $\big\|x-\|x+1\|\big\|\leq2x$
(g) $\|2x^2+6x-7\|<\|x^2-5x-7\|$	(h) $\|x^2-8x\|\geq\|x^2-8x+2\|$
(i) $\|x^4-4x^2-6\|\geq\|x^4-4x^2+14\|$	(j) $x^2-3\|x+1\|-x\le0$
(k) $\|x-6\|>x^2-5x+9$	(l) $\|x^2-2x\|<x$
(m) $2x<\|x^2-5\|\le4x$	(n) $\|x^2-1\|<1$
(o) $1\le \|10-x^2\|\le6$	(p) $\|x^2-3x+2\|-1>x-2$
(q) $\|x^2-4x+3\|\le\|x^2+x-3\|$	(r) $\|x^2-3x+2\|>\|x^2-2x-2\|$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in(-\infty;-2)\cup(-1;2)$ (b) $x\in(\frac{1-\sqrt{33}}2;1)\cup(2;\frac{1+\sqrt{33}}2)$ (c) $x\in(-7;-1)$ (d) $x\in\{-1\}$ (e) $x\in(-\infty;-\frac32]\cup[\frac{1-\sqrt7}2;\frac{1+\sqrt7}2]$ (f) $x\in[\frac12;\infty)$ (g) $x\in(-11;-\frac73)\cup(0;2)$ (h) $x\in[4-\sqrt{15};4+\sqrt{15}]$ (i) $x\in\{\pm\sqrt2\}$ (j) $x\in[2-\sqrt7;2+\sqrt7]$ (k) $x\in(1;3)$ (l) $x\in(1;3)$ (m) $x\in[1;\sqrt6-1)\cup(\sqrt6+1;5]$ (n) $x\in(-\sqrt2;\sqrt2)-\{0\}$ (o) $x\in[-4;-\sqrt{11}]\cup[-3;-2]\cup[2;3]\cup[\sqrt{11};4]$ (p) $x\in(-\infty;1)\cup(3;\infty)$ (q) $x\in[0;\frac65]\cup[\frac32;\infty)$ (r) $x\in(-\infty;0)\cup(\frac52;4)$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;2)$ (b)

$x\in(\frac{1-\sqrt{33}}2;1)\cup(2;\frac{1+\sqrt{33}}2)$ (c)

$x\in(-7;-1)$ (d)

$x\in\{-1\}$
(e)

$x\in(-\infty;-\frac32]\cup[\frac{1-\sqrt7}2;\frac{1+\sqrt7}2]$ (f)

$x\in[\frac12;\infty)$ (g)

$x\in(-11;-\frac73)\cup(0;2)$ (h)

$x\in[4-\sqrt{15};4+\sqrt{15}]$ (i)

$x\in\{\pm\sqrt2\}$ (j)

$x\in[2-\sqrt7;2+\sqrt7]$ (k)

$x\in(1;3)$ (l)

$x\in(1;3)$ (m)

$x\in[1;\sqrt6-1)\cup(\sqrt6+1;5]$ (n)

$x\in(-\sqrt2;\sqrt2)-\{0\}$
(o)

$x\in[-4;-\sqrt{11}]\cup[-3;-2]\cup[2;3]\cup[\sqrt{11};4]$ (p)

$x\in(-\infty;1)\cup(3;\infty)$ (q)

$x\in[0;\frac65]\cup[\frac32;\infty)$
(r)

$x\in(-\infty;0)\cup(\frac52;4)$

Příklad 2

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\dfrac{1}{\|x+1\|}>\dfrac{2}{\|x-1\|}$	(i) $\dfrac{\|x-2\|}{2-\|x\|}<-2$
(b) $\dfrac{x-3}{x-1}\leq\|x+2\|$	(j) $2x+3+\dfrac{1}{\|x-2\|}\ge x^2+\dfrac{1}{\|2-x\|}$
(c) $\dfrac{1}{x}<\|x+2\|$	(k) $\dfrac{x^2-7\|x\|+10}{x^2-6x+9}<0$
(d) $x\leq\left\|\dfrac{x+2}{x-3}\right\|$	(l) $\left\|\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-1}\right\|\ge 1$
(e) $\dfrac{\|x+3\|}{x+1}\ge2$	(m) $\dfrac{\|x^2+x-12\|}{x-3}\ge1$
(f) $\dfrac{\|x+1\|}{x-1}>3$	(n) $\dfrac{\|x^2+2x-3\|}{x-1}\ge1$
(g) $\left\|\dfrac{x+1}{3-2x}\right\|>1$	(o) $\left\| \dfrac {x^{2}-5x+4} {x^{2}-4}\right\| \leq 1$
(h) $\left\|\dfrac{x^2-4}{x}\right\|\le3$	(p) $\left\| \dfrac {x+1} {x-2}\right\| -2\cdot \left\| \dfrac {x-2} {x+1}\right\| \geq -1$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in(-3;-1)\cup(-1;-\frac13)$ (b) $x\in(-\infty;-1-\sqrt6]\cup(1;\infty)$ (c) $x\in(-\infty;0)\cup(\sqrt2-1;\infty)$ (d) $x\in(-\infty;2+\sqrt6]-\{3\}$ (e) $x\in(-1;1]$ (f) $x\in(1;2)$ (g) $x\in(\frac23;\frac32)\cup(\frac32;4)$ (h) $x\in[-4;-1]\cup[1;4]$ (i) $x\in(-6;-2)$ (j) $x\in[-1;3]-\{2\}$ (k) $x\in(-5;-2)\cup(2;3)\cup(3;5)$ (l) $x\in(-\infty;\frac32]-\{\pm1\}$ (m) $x\in(3;\infty)$ (n) $x\in(1;\infty)$ (o) $x\in[0;\frac85]\cup[\frac52;\infty)$ (p) $x\in[\frac12;\infty)-\{2\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in(-3;-1)\cup(-1;-\frac13)$ (b)

$x\in(-\infty;-1-\sqrt6]\cup(1;\infty)$ (c)

$x\in(-\infty;0)\cup(\sqrt2-1;\infty)$
(d)

$x\in(-\infty;2+\sqrt6]-\{3\}$ (e)

$x\in(-1;1]$ (f)

$x\in(1;2)$ (g)

$x\in(\frac23;\frac32)\cup(\frac32;4)$ (h)

$x\in[-4;-1]\cup[1;4]$
(i)

$x\in(-6;-2)$ (j)

$x\in[-1;3]-\{2\}$ (k)

$x\in(-5;-2)\cup(2;3)\cup(3;5)$ (l)

$x\in(-\infty;\frac32]-\{\pm1\}$ (m)

$x\in(3;\infty)$ (n)

$x\in(1;\infty)$ (o)

$x\in[0;\frac85]\cup[\frac52;\infty)$ (p)

$x\in[\frac12;\infty)-\{2\}$

Příklad 3

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\left\|\dfrac2{x-13}\right\|>\dfrac89$	(b) $\dfrac{x^2-\|x\|-12}{x-3}\ge2x$
(c) $\dfrac{\|2x-1\|}{x^2+x-2}\ge3$	(d) $\left\|\dfrac{x-1}{x+2}\right\|>\dfrac2{x+2}+\dfrac12$
(e) $\dfrac{x^2+2\|x\|-1}x\ge0$	(f) $\dfrac{x^2-3\|x\|+4}x\ge-1$
(g) $\left\|\dfrac{x-1}{x+4}\right\|>\|3-x\|$	(h) $\left\|\dfrac{x+1}{x+3}\right\|>\|2-x\|$
(i) $\dfrac{6-4x+\frac{x^2}2}{\|x-4\|-2}>0$	(j) $\dfrac{6+2x-\frac{x^2}2}{\|x-2\|-4}<0$
(k) $\dfrac{2x^2+2\|x\|}{4\|x\|-5}\ge x^2$	(l) $\dfrac{x^2+\|x\|}{x^2-1}\ge 1-4\|x\|$
(m) $\dfrac{\|3-x\|+\|x+1\|}x>\dfrac32$	(n) $\dfrac{\|6-2x\|+\|2x+1\|}x>3$
(o) $\dfrac{\|2\|x\|-3\|}{\|\|x\|-2\|}\ge3$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in(\frac{43}4;\frac{61}4)-\{13\}$ (b) $x\in(-\infty;3)$ (c) $x\in[\frac{-5-\sqrt{109}}6;-2)\cup(1;\frac{\sqrt{61}-1}6]$ (d) $(-\infty;-2)\cup(-2;-\frac43)\cup(8;\infty)$ (e) $x\in[1-\sqrt2;0)\cup[\sqrt2-1;\infty)$ (f) $x\in\{-2\}\cup(0;\infty)$ (g) $x\in(-1-\sqrt{14};-4)\cup(-4;-\sqrt{11})\cup(\sqrt{14}-1;\sqrt{11})$ (h) $x\in(-1-\sqrt6;-3)\cup(-3;\sqrt7)\cup(\sqrt6-1;\sqrt7)$ (i) $x\in\mathbb R-\{2;6\}$ (j) $x\in\mathbb R-\{-2;6\}$ (k) $x\in[-2;-\frac54)\cup\{0\}\cup(\frac54;2]$ (l) $x\in(-\infty;-1)\cup\{\pm\frac12\}\cup(1;\infty)$ (m) $x\in(0;\frac83)\cup(4;\infty)$ (n) $x\in(0;\frac73)\cup(5;\infty)$ (o) $x\in[-3;-\frac92]\cup[\frac95;3]\setminus\{\pm2\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in(\frac{43}4;\frac{61}4)-\{13\}$ (b)

$x\in(-\infty;3)$ (c)

$x\in[\frac{-5-\sqrt{109}}6;-2)\cup(1;\frac{\sqrt{61}-1}6]$ (d)

$(-\infty;-2)\cup(-2;-\frac43)\cup(8;\infty)$ (e)

$x\in[1-\sqrt2;0)\cup[\sqrt2-1;\infty)$ (f)

$x\in\{-2\}\cup(0;\infty)$ (g)

$x\in(-1-\sqrt{14};-4)\cup(-4;-\sqrt{11})\cup(\sqrt{14}-1;\sqrt{11})$ (h)

$x\in(-1-\sqrt6;-3)\cup(-3;\sqrt7)\cup(\sqrt6-1;\sqrt7)$ (i)

$x\in\mathbb R-\{2;6\}$ (j)

$x\in\mathbb R-\{-2;6\}$ (k)

$x\in[-2;-\frac54)\cup\{0\}\cup(\frac54;2]$ (l)

$x\in(-\infty;-1)\cup\{\pm\frac12\}\cup(1;\infty)$ (m)

$x\in(0;\frac83)\cup(4;\infty)$ (n)

$x\in(0;\frac73)\cup(5;\infty)$ (o)

$x\in[-3;-\frac92]\cup[\frac95;3]\setminus\{\pm2\}$

Příklad 4

V množině reálných čísel řešte nerovnice

(a) $\dfrac{x^2+x+1-2|x^3+x^2+x|}{10x^2-17x-6}\ge0$
(b) $\Big||1-x^2|-|x^2-3x+2|\Big|\ge3|x-1|$
(c) $\dfrac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}<\dfrac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in[-\frac12;-\frac3{10})\cup[\frac12;2)$ (b) $x\in(-\infty;-1]\cup\{1\}\cup[2;\infty)$ (c) $x\in(3;7)-\{4\}$

Příklad 5

Řešte pro $x\in\mathbb{R}$ soustavu nerovnic:

(a) $\begin{cases}11+24x-17x^2\ge0\\\|x^2-2x+1\|\le1\end{cases}$	(c) $\begin{cases}\|x^2+5x\|<6\\\|x+1\|\le1\end{cases}$
(b) $\begin{cases}\|2x-1\|<3\\\dfrac{x+2}x<0\end{cases}$	(d) $\begin{cases}\|x^2-4x\|<5\\\|x+1\|<3\end{cases}$

Řešení	Ukázat
$x\in[0;\frac{12+\sqrt{331}}{17}]$ (b) $x\in(-1;0)$ (c) $x\in(-2;0]$ (d) $x\in(-1;2)$

(a) $(\|x\|-2)(x+1)<0$	(b) $\|x^2-2x-3\|<5-x$
(c) $\|x+1\|>x^2+7x+6$	(d) $x+1\geq\|x^2+4x+3\|$
(e) $x^2\leq\|x^2-2x-3\|$	(f) $\big\|x-\|x+1\|\big\|\leq2x$
(g) $\|2x^2+6x-7\|<\|x^2-5x-7\|$	(h) $\|x^2-8x\|\geq\|x^2-8x+2\|$
(i) $\|x^4-4x^2-6\|\geq\|x^4-4x^2+14\|$	(j) $x^2-3\|x+1\|-x\le0$
(k) $\|x-6\|>x^2-5x+9$	(l) $\|x^2-2x\|<x$
(m) $2x<\|x^2-5\|\le4x$	(n) $\|x^2-1\|<1$
(o) $1\le \|10-x^2\|\le6$	(p) $\|x^2-3x+2\|-1>x-2$
(q) $\|x^2-4x+3\|\le\|x^2+x-3\|$	(r) $\|x^2-3x+2\|>\|x^2-2x-2\|$

(a) $\dfrac{1}{\|x+1\|}>\dfrac{2}{\|x-1\|}$	(i) $\dfrac{\|x-2\|}{2-\|x\|}<-2$
(b) $\dfrac{x-3}{x-1}\leq\|x+2\|$	(j) $2x+3+\dfrac{1}{\|x-2\|}\ge x^2+\dfrac{1}{\|2-x\|}$
(c) $\dfrac{1}{x}<\|x+2\|$	(k) $\dfrac{x^2-7\|x\|+10}{x^2-6x+9}<0$
(d) $x\leq\left\|\dfrac{x+2}{x-3}\right\|$	(l) $\left\|\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-1}\right\|\ge 1$
(e) $\dfrac{\|x+3\|}{x+1}\ge2$	(m) $\dfrac{\|x^2+x-12\|}{x-3}\ge1$
(f) $\dfrac{\|x+1\|}{x-1}>3$	(n) $\dfrac{\|x^2+2x-3\|}{x-1}\ge1$
(g) $\left\|\dfrac{x+1}{3-2x}\right\|>1$	(o) $\left\| \dfrac {x^{2}-5x+4} {x^{2}-4}\right\| \leq 1$
(h) $\left\|\dfrac{x^2-4}{x}\right\|\le3$	(p) $\left\| \dfrac {x+1} {x-2}\right\| -2\cdot \left\| \dfrac {x-2} {x+1}\right\| \geq -1$

(a) $\left\|\dfrac2{x-13}\right\|>\dfrac89$	(b) $\dfrac{x^2-\|x\|-12}{x-3}\ge2x$
(c) $\dfrac{\|2x-1\|}{x^2+x-2}\ge3$	(d) $\left\|\dfrac{x-1}{x+2}\right\|>\dfrac2{x+2}+\dfrac12$
(e) $\dfrac{x^2+2\|x\|-1}x\ge0$	(f) $\dfrac{x^2-3\|x\|+4}x\ge-1$
(g) $\left\|\dfrac{x-1}{x+4}\right\|>\|3-x\|$	(h) $\left\|\dfrac{x+1}{x+3}\right\|>\|2-x\|$
(i) $\dfrac{6-4x+\frac{x^2}2}{\|x-4\|-2}>0$	(j) $\dfrac{6+2x-\frac{x^2}2}{\|x-2\|-4}<0$
(k) $\dfrac{2x^2+2\|x\|}{4\|x\|-5}\ge x^2$	(l) $\dfrac{x^2+\|x\|}{x^2-1}\ge 1-4\|x\|$
(m) $\dfrac{\|3-x\|+\|x+1\|}x>\dfrac32$	(n) $\dfrac{\|6-2x\|+\|2x+1\|}x>3$
(o) $\dfrac{\|2\|x\|-3\|}{\|\|x\|-2\|}\ge3$

(a) $\begin{cases}11+24x-17x^2\ge0\\\|x^2-2x+1\|\le1\end{cases}$	(c) $\begin{cases}\|x^2+5x\|<6\\\|x+1\|\le1\end{cases}$
(b) $\begin{cases}\|2x-1\|<3\\\dfrac{x+2}x<0\end{cases}$	(d) $\begin{cases}\|x^2-4x\|<5\\\|x+1\|<3\end{cases}$

rovnice

Velká kniha rovnic

Nerovnice s absolutní hodnotou

Příklad 1

Příklad 2

Příklad 3

Příklad 4

Příklad 5