Příklad 1

(a) Z rovnice $\dfrac ab=a-b$ vyjádřete $a$
(b) Z rovnice $c=\dfrac{x-a}{x-b}$ vyjádřete $x$ .
(c) Z rovnice $p=\dfrac{m^2-ax}{x}$ vyjádřete $x$ .
(d) Z rovnice $\dfrac{a-1}{a+1}=\dfrac{b-4}{b+3}$ vyjádřete $b$ .

Řešení	Ukázat
(a) $a=\frac{b^2}{b-1}$ , $b\ne0$ , $b\ne1$ (b) $x=\frac{cb-a}{c-1}$ , $a\ne b$ , $c\ne1$ (c) $x=\frac{m^2}{p+a}$ , $m\ne0$ , $p+a\ne0$ (d) $b=\frac{7a+1}2$ , $a\ne-1$ , $b\ne-3$

Příklad 2

Řešte rovnice s reálným parametrem a reálnou neznámou $x$ .

(a) $\displaystyle\frac{x+a}{a} = ax - 1$	(b) $\dfrac{a(x + 2) - 3(x-1)}{x + 1}= 1$
(c) $\dfrac{2 - a}{a} =\dfrac{2}{x - 1}$	(d) $2x+2p(x+p)=p^2+px+4$
(e) $\|x+p\|=x$	(f) $(3x + 5)(a + 4) = 2a + 8$
(g) $1+\dfrac{a^2-1}{x}=a$	(h) $\dfrac{5x-2}{m-3}-\dfrac{2}{3}x=4$

Řešení	Ukázat
(a) Pro $a\ne0\wedge a\ne\pm1$ $x=\frac{2a}{a^2-1}$ , jinak nemá řešení. (b) Pro $a\ne4\wedge a\ne-6$ $x=\frac{2a+2}{4-a}$ , jinak nemá řešení. (c) Pro $a\ne0\wedge a\ne2$ $x=\frac{a+2}{2-2}$ , jinak nemá řešení. (d) Pro $p\ne-2$ $x=2-p$ , pro $p=-2$ je řešení každé reálné číslo. (e) $p<0$ : $x=-\frac p2$ , $p=0$ : každé $x\ge0$ , $p>0$ nemá řešení. (f) Pro $a\ne-4$ je $x=-1$ . Pro $a=-4$ jsou řešení všechna reálná čísla. (g) Pro $x\ne\pm1$ je $x=a+1$ . Pro $a=1$ je řešením každé nenulové reálné číslo. Pro $x=-1$ rovnice nemá řešení. (h) Pro $x\ne3\wedge x\ne\frac{21}2$ je $x=\frac{12m-30}{2m-31}$ . Jinak rovnice nemá řešení.

Řešení

Ukázat

(a) Pro

$a\ne0\wedge a\ne\pm1$

$x=\frac{2a}{a^2-1}$ , jinak nemá řešení. (b) Pro

$a\ne4\wedge a\ne-6$

$x=\frac{2a+2}{4-a}$ , jinak nemá řešení.

(c) Pro $a\ne0\wedge a\ne2$ $x=\frac{a+2}{2-2}$ , jinak nemá řešení. (d) Pro $p\ne-2$ $x=2-p$ , pro $p=-2$ je řešení každé reálné číslo.

(e) $p<0$ : $x=-\frac p2$ , $p=0$ : každé $x\ge0$ , $p>0$ nemá řešení. (f) Pro $a\ne-4$ je $x=-1$ . Pro $a=-4$ jsou řešení všechna reálná čísla.

(g) Pro $x\ne\pm1$ je $x=a+1$ . Pro $a=1$ je řešením každé nenulové reálné číslo. Pro $x=-1$ rovnice nemá řešení.

(h) Pro $x\ne3\wedge x\ne\frac{21}2$ je $x=\frac{12m-30}{2m-31}$ . Jinak rovnice nemá řešení.

Příklad 3

Určete, pro jaké $m\in\mathbb{R}$ je kořen rovnice $6x-5m=3(m+1)-2x$ větší než $-\frac{3}{2}$ .

Řešení	Ukázat
$m>-\frac{15}8$

Příklad 4

Pro které hodnoty parametru $a\in\mathbb{R}$ má rovnice $\dfrac{7-3a}{6}=\dfrac{ax+3a+2x}{2}$ kladné řešení?

Řešení	Ukázat
$a\in(-2;\frac7{12})$

Příklad 5

Pro které hodnoty parametru $k\in\mathbb{R}$ má rovnice $(2+k)(k-x)=k(x+3)$ nenulový kořen?

Řešení	Ukázat
$k\in\mathbb R\setminus\{\pm1;0\}$

Příklad 6

Určete hodnotu parametru $k$ tak, aby rovnice $4k(x+2)-1=2x$ neměla žádné řešení.

Řešení	Ukázat
$k=\frac12$

Příklad 7

Pro jakou hodnotu parametru $b$ má rovnice $|2x-1|=x+b$ právě jedno řešení?

Řešení	Ukázat
$b=-\frac12$

Příklad 8

Rovnice $\Big||x+5|-3\Big|=c$ má právě tři různá řešení. Určete hodnotu parametru $c$ .

Řešení	Ukázat
$c=3$

Příklad 9

Pro které hodnoty parametru $a\in\mathbb R$ má rovnice $||x-2|-a|-3=0$ právě tři kořeny?

Řešení	Ukázat
$a=3$

Příklad 10

Kolik řešení má rovnice $\pi|x-a|=2|x-b|,$ jestliže platí $0<a<b$ ?

Řešení	Ukázat
Dvě řešení.

rovnice

Velká kniha rovnic

Lineární rovnice s parametrem