Příklad 1

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$ .

(a) $5^x+5^x+5^x+5^x+5^x=5^{25}$	(b) $5^x+5^x+5^x+5^x+5^x=(\sqrt5)^{10}$
(c) $4^x+4^x+4^x+4^x+4^x+4^x+4^x+4^x=\dfrac{1}{512}$	(d) $\dfrac1{6^x+6^x+ 6^x+ 6^x+ 6^x+ 6^x}=6^{36}$
(e) $4^{x+1}+4^{x+2}+4^{x+3}+4^{x+4}=170$	(f) $9^{x+1}+9^{x+2}+9^{x+3}+9^{x+4}+9^{x+5}=22143$

Řešení	Ukázat
(a) $x=24$ (b) $x=4$ (c) $x=-6$ (d) $x-37$ (e) $x=-\frac12$ (f) $x=-\frac12$

Příklad 2

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$ .

(a) $2^{x+1}=8^x$	(b) $2^{\sqrt{5x-1}}=8$
(c) $2^{x+3}=4^{2x+1}$	(d) $2^{x+2}=4^{3x-4}$
(e) $\dfrac{1}{25}=125^{3x-4}$	(f) $3^{x+2}=9^{2x-1}$
(g) $64^x=8^3$	(h) $2\sqrt2=16^x$
(i) $2^{x+1}=8^{x-1}$	(j) $2^{2x-4}=8$
(k) $9^{\|3x-1\|}=3^{8x-2}$	(l) $4^{x-1}=8^{3x-1}$
(m) $0,5^{x-6}=2^{3x-1}$	(n) $4^{3x-4}=16^{1-2x}$

Řešení	Ukázat
(a) $x=\frac12$ (b) $x=2$ (c) $x=\frac13$ (d) $x=2$ (e) $x=\frac{10}9$ (f) $x=\frac34$ (g) $x=\frac32$ (h) $x=\frac38$ (i) $x=2$ (j) $x=\frac72$ (k) $x=\frac27$ (l) $x=\frac17$ (m) $x=\frac74$ (n) $x=\frac67$

Příklad 3

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$ .

(a) $3\cdot2^{x-1}=24$	(b) $2\cdot3^{x-1}=18$
(c) $4\cdot2^{x-1}=8^x$	(d) $3^{(27^x)}=27^{(3^x)}$
(e) $\sqrt[2x+3]{4^{3-x}}=1024$	(f) $\dfrac{4}{2^x}=\sqrt{8^x}$
(g) $\sqrt2\cdot\sqrt[3]{4^{3-5x}}=4\cdot\sqrt{2^{5-7x}}$	(h) $2^x\cdot3^{2x}=324$

Řešení	Ukázat
(a) $x=4$ (b) $x=3$ (c) $x=\frac12$ (d) $x=\frac12$ (e) $x=-\frac{12}{11}$ (f) $x=\frac45$ (g) $x=12$ (h) $x=2$

Příklad 4

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$ .

(a) $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x-1}=81$	(b) $\left(\dfrac{1}{7}\right)^{x+1}=49$
(c) $4^{2x+3}=\left(\dfrac{1}{8}\right)^{5-x}$	(d) $\left(\dfrac{7}{5}\right)^{3x-4}=\left(\dfrac{5}{7}\right)^{2-x}$
(e) $\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\right]^x=1$	(f) $\left(\dfrac{4}{9}\right)^{\sqrt{x}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{39-\sqrt{x}}$

Řešení	Ukázat
(a) $x=-1$ (b) $x=-3$ (c) $x=-21$ (d) $x=1$ (e) $3=0$ (f) $x=169$

Příklad 5

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$ .

(a) $2^x\cdot5^x=0{,}1\cdot(10^{x-1})^5$	(b) $2^x\cdot 5^x=0,1\cdot (100^{x+2})^{-2}$
(c) $2^x\cdot4^x\cdot8^x=\sqrt2$	(d) $3^x\cdot9^{-x}\cdot27^x=\sqrt3$
(e) $(\sqrt3)^x\cdot(\sqrt{27})^x=\sqrt3$	(f) $2^{2x-1}\cdot4^{x+1}\cdot8^{1-x}=64$
(g) $5^{x-1}=10^x\cdot2^{-x}\cdot5^{x-1}$	(h) $9^{x-1}\cdot3^{3x-1}=27$
(i) $\dfrac{32^{x+1}}{16\cdot2^{2x}}=4^{1+x}$	(j) $9^{x-1}\cdot\dfrac{3^{2x}}{3^{x+1}}=3^{2x}\cdot27$

Řešení	Ukázat
(a) $x=\frac32$ (b) $x=-\frac95$ (c) $x=\frac1{12}$ (d) $x=\frac14$ (e) $x=\frac14$ (f) $x=2$ (g) $x=0$ (h) $x=\frac65$ (i) $x=1$ (j) $x=6$

Příklad 6

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$ .

(a) $\sqrt5\cdot0,2^{\frac{1}{2x}}-0,04^{1-x}=0$	(b) $\dfrac{1}{16\sqrt2}\cdot0,125^{\frac1x}=4^{\frac{1-x}2}$
(c) $4^{\sqrt{x+1}}=64\cdot2^{\sqrt{x+1}}$	(d) $\sqrt[3]{27^{5\cdot\sqrt x}}=3^{x(\sqrt x-4)}$
(e) $8^{\frac{x-3}{3x-7}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{0,25^{\frac{3x-1}{x-1}}}}=1$	(f) $\sqrt2\cdot0,5^{\frac{5}{4\sqrt x+10}}=16^{\frac{1}{2(\sqrt x+1)}}$
(g) $\left((\sqrt[5]{27})^{\frac x4-\sqrt{\frac x3}}\right)^{\frac x4+\sqrt{\frac x3 }}=\sqrt[4]{3^7}$	(h) $\sqrt{3}\cdot3^{\frac{x}{1+\sqrt x}}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{2+\sqrt x+x}{2(1+\sqrt x)}}=81$
(i) $\left(3\cdot(3^{\sqrt x+3} )^{\frac1{2\sqrt x}} \right)^{\frac2{\sqrt x-1}}=\dfrac{3}{\sqrt[10]{3}}$	(j) $\sqrt{2^x\cdot\sqrt[3]{4^x\cdot0,125^{\frac1x}}}=4\cdot\sqrt[3]{2}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\frac14;1\}$ (b) $x\in\{-\frac12;6\}$ (c) $x=35$ (d) $x\in\{0;25\}$ (e) $x=\frac53$ (f) $x=25$ (g) $x\in\{-\frac{14}3;10\}$ (h) $x=81$ (i) $x=25$ (j) $x\in\{-\frac15;3\}$

Příklad 7

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$ .

(a) $2^{x^2-6x-\frac52}=16\sqrt2$	(b) $16^{\frac x{x+3}}=4\cdot\left(\dfrac{2^x}{8}\right)^{\frac1{2x+5}}$
(c) $16^{x^2+x+4}=32^{x^2+2x}$	(d) $16^{x^2+3x-1}=8^{x^2+3x+2}$
(e) $8^{6x^2+4x}=4^{9x^2-9x+6}$	(f) $8^x=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x^2}$
(g) $8^{x^2+3x+10}=4^{x^2-x}$	(h) $2^{x^2}=16^{2x-3}$
(i) $3^{x^2}=81^{2x-3}$	(j) $3^{\frac{6+x}{x}}=(\sqrt{3})^{x+1}$
(k) $2^{x^2-3x}=16$	(l) $2^{2^x}=4^{2^x}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{-1;7\}$ (b) $x\in\{-\frac73;3\}$ (c) $x\in\{-8;2\}$ (d) $x\in\{-5;2\}$ (e) $x\in\{\frac52\}$ (f) $x\in\{-\frac32;0\}$ (g) $x\in\{-6;-5\}$ (h) $x\in\{2;6\}$ (i) $x\in\{2;6\}$ (j) $x\in\{-3;4\}$ (k) $x\in-1;4\}$ (l) nemá řešení

Příklad 8

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$ .

(a) $\dfrac{1}{3^x}=\dfrac1{\sqrt{3}}\cdot\sqrt[3]{27^{3-3x}}\left(\dfrac19\right)^{x+3}$	(b) $\dfrac{2^{2x^2-x}}{4^{x-1}}=(\sqrt{2})^{x+4}$
(c) $3^{x^2+2x}-3^{(x+3)(x-1)}=26$	(d) $81\cdot\sqrt[3]{3^{x^2-8x}}=1$
(e) $\left(1-\dfrac{7}{9}\right)^{\frac{1}{3-x}}=\left(\dfrac{9}{2}\right)^{\frac{2}{x-2}}$	(f) $5^{\frac{x}{\sqrt x+2}}\cdot0,2^{\frac{4}{\sqrt x+2}}=125^{x-4}\cdot0,04^{x-2}$
(g) $2^{x^2-3}\cdot5^{x^2-3}=0,01\cdot\left(10^{x-1}\right)^3$	(h) $0,6^x\cdot\left(\dfrac{25}{9}\right)^{x^2-12} =\left(\dfrac{27}{125}\right)^3$
(i) $5^{\frac{1}{x-\sqrt x}}\cdot0,2^{\frac{1}{\sqrt{x}}}=\sqrt[3]{25}$	(j) $2^{\frac{1}{\sqrt x-1}}\cdot0,5^{\frac{1}{\sqrt{x}+1}}=4^{\frac{\sqrt x}{x+\sqrt x} }$
(j) $2,5^{\frac{4+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}}}\cdot0,4^{1-\sqrt{9-x}}=5^{10}\cdot0,1^5$	(l) $7^x\left(\sqrt{2}\right)^{2x^2-6}-\left(\dfrac{7}{4}\right)^x=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x=-\frac78$ (b) $x\in\{0;\frac74\}$ (c) $x\in\{-3;1\}$ (d) $x\in\{2;6\}$ (e) $x=4$ (f) $x=9$ (g) $x\in\{1;2\}$ (h) $x\in\{-\frac52;3\}$ (i) $x=\frac94$ (j) $x=4$ (k) $x=-7$ (l) $x\in\{-3;1\}$

Příklad 9

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a) $5^x+3\cdot5^{x-2}=140$	(b) $2\cdot2^{2x}=4^x+64$
(c) $3^{(x-3)}=108-3^{(x-2)}$	(d) $4^{(x-1)}+4^{(x-2)}+4^{(x-3)}=42$
(e) $2^{x+2}=2^x+96$	(f) $3^{x+2}-3^x=72$
(g) $10\cdot 2^{2x-1} - 7\cdot 0,5^{-2x} = -2^{2x+2} + 16$	(h) $3^x+3^{x+1}=108$
(i) $2^{x+3}+2^{x+5}=80$	(j) $3=\dfrac{2^x+7}{3-2^x}$
(k) $2^{2x-1}-4^{x-1}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3-2x}=48$	(l) $\sqrt{3^{x-56}}-7\cdot\sqrt{3^{x-60}}=162$

Řešení	Ukázat
(a) $x=3$ (b) $x=3$ (c) $x=6$ (d) $\frac72$ (e) $x=5$ (f) $x=2$ (g) $x=\frac32$ (h) $x=3$ (i) $x=1$ (j) $x=-1$ (k) $x=\frac72$ (l) $x=68$

Příklad 10

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a) $2^{x+1}+2^x=3$	(b) $4^{x-1}-10=2\cdot(4^{x-2}+11)$
(c) $3^{x-2}-3^x=8$	(d) $3^{x+2}-2=28-3^x$
(e) $4^{x+1}-4^x-48=0$	(f) $4^{x+1}+4^x=5$
(g) $2^{x+2}-2^x=3$	(h) $3^{x-2}+3=9\cdot(3^{x-2}-\frac59)$
(i) $2^{x^2-1}-3^{x^2}=3^{x^2-1}-2^{x^2+2}$	(j) $5^{2x-1}+2^{2x}-5^{2x}+2^{2x+2}=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x=0$ (b) $x=4$ (c) nemá řešení (d) $x=1$ (e) $x=2$ (f) $x=0$ (g) $x=0$ (h) $x=2$ (i) $x=\pm\sqrt3$ (j) $x=1$

Příklad 11

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a) $\displaystyle \frac{3^{2x+2}}{3^{3x-5}}=\frac{\log125}{\log5}$	(b) $2^{3x+1} = 5$
(c) $e^{3x} = 2$	(d) $2^x \cdot 3^{x-1} = 6$

Řešení	Ukázat
(a) $x=6$ (b) $x=\frac13\log_2\frac52$ (c) $x=\frac13\ln2$ (d) $x=\log_6(18)$

Příklad 12

Řešte rovnice pro $x\in\mathbb R$

(a)

$3^{x+2}=2^{2x-1}$

(b)

$2^{x^3}=3^{x^2}$

(c)

$6^x=(0,25)^{x^2}$

Řešení	Ukázat
(a) $x=\frac{1+2\log_23}{2-\log_23}$ (b) $x\in\{0;\log_23\}$ (c) $x\in\{-\log_2\sqrt6;0\}$

rovnice

Velká kniha rovnic

Exponenciální rovnice I

Příklad 1

Příklad 2

Příklad 3

Příklad 4

Příklad 5

Příklad 6

Příklad 7

Příklad 8

Příklad 9

Příklad 10

Příklad 11

Příklad 12