Příklad 1

(a) $\sin 5 x=\sin 8 x$	(b) $\cos 2 x=\cos3 x$
(c) $\mathrm{tg}\,3x=\mathrm{tg}\,4x$	(d) $\mathrm{tg}(x+20^\circ)=\mathrm{tg}(10^\circ-x)$
(e) $\cos\left(\dfrac{3x-\pi}2\right)=\cos\left(x+\dfrac\pi2\right)$	(f) $\sin\left(3x-\dfrac\pi2\right)=\sin4x$
(g) $\sin2x=-\sin4x$	(h) $\sin3x-\sin7x=0$
(i) $\cos5x=\cos x$	(j) $\sin6x=\sin3x$
(k) $1-\sin 5x=\left( \cos \dfrac {3x} {2}-\sin \dfrac {3x} {2}\right) ^{2}$	(l) $\displaystyle\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\cos(x-\frac{\pi}{4})}$
(m) $\cos(x+15^\circ)=\cos(x-45^\circ)$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{2\pi}3k;\frac\pi{13}+\frac{2\pi}{13}k\}$ (b) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2k\pi;\frac{2\pi}5k\}$ (c) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi\}$ (d) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-5^\circ+90^\circ k\}$ (e) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2\pi+4k\pi;\frac{4\pi}5k\}$ (f) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi2+2k\pi;\frac{3\pi}{14}+\frac{2\pi}7k\}$ (g) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2k;\pm\frac\pi3+k\pi\}$ (h) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2k;\frac\pi{10}+\frac\pi5k\}$ (i) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2k;\frac\pi3k\}$ (j) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3k;\pm\frac\pi9+\frac{2\pi}3k\}$ (k) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi8+k\frac\pi4\}$ (l) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi8+k\pi\}$ (m) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{15^\circ+k\cdot180^\circ\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac{2\pi}3k;\frac\pi{13}+\frac{2\pi}{13}k\}$ (b)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2k\pi;\frac{2\pi}5k\}$ (c)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi\}$ (d)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-5^\circ+90^\circ k\}$ (e)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{2\pi+4k\pi;\frac{4\pi}5k\}$ (f)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi2+2k\pi;\frac{3\pi}{14}+\frac{2\pi}7k\}$ (g)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2k;\pm\frac\pi3+k\pi\}$ (h)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2k;\frac\pi{10}+\frac\pi5k\}$ (i)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi2k;\frac\pi3k\}$ (j)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3k;\pm\frac\pi9+\frac{2\pi}3k\}$ (k)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi8+k\frac\pi4\}$ (l)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi8+k\pi\}$ (m)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{15^\circ+k\cdot180^\circ\}$

Příklad 2

(a) $\sin 5 x=\cos 7 x$	(b) $\sin\left(2x+\dfrac\pi3\right)=\cos6x$
(c) $\sin4x=\cos(x+45^\circ)$	(d) $\sin(x+30^\circ)=\cos(2x-30^\circ)$
(e) $\sin6x=\cos 3x$	(f) $\cos^2x-\sin^2x=\sin5x$
(g) $\sin^211x=\cos^217x$	(h) $\sin(x+\frac\pi2)=\cos(x+\frac\pi4)$
(i) $\cos\left(\frac\pi3-x\right)=2\cos x$	(j) $\cos2x=1-\cos\left(\frac\pi2-x\right)$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi4+k\pi;\frac\pi{24}+k\frac\pi6\}$ (b) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi{24}+k\frac\pi2;\frac\pi{48}+k\frac\pi4\}$ (c) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{45^\circ+k\cdot120^\circ;9^\circ+k\cdot72^\circ\}$ (d) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-30^\circ+k\cdot360^\circ;30^\circ+k\cdot120^\circ\}$ (e) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+\frac23k\pi;\frac\pi{18}+\frac29k\pi\}$ (f) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+\frac23k\pi;\frac\pi{14}+\frac27k\pi\}$ (g) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi{12}+k\frac\pi3;\pm\frac\pi{56}+\frac\pi{14}k\}$ (h) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi8+k\pi\}$ (i) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+k\pi\}$ (j) $x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi4+k\pi;\frac\pi{24}+k\frac\pi6\}$ (b)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi{24}+k\frac\pi2;\frac\pi{48}+k\frac\pi4\}$ (c)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{45^\circ+k\cdot120^\circ;9^\circ+k\cdot72^\circ\}$ (d)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-30^\circ+k\cdot360^\circ;30^\circ+k\cdot120^\circ\}$ (e)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+\frac23k\pi;\frac\pi{18}+\frac29k\pi\}$ (f)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi6+\frac23k\pi;\frac\pi{14}+\frac27k\pi\}$ (g)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\pm\frac\pi{12}+k\frac\pi3;\pm\frac\pi{56}+\frac\pi{14}k\}$ (h)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{-\frac\pi8+k\pi\}$ (i)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{\frac\pi3+k\pi\}$ (j)

$x\in \bigcup_{k\in\mathbb Z}\{k\pi;\frac\pi6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\}$