Příklad 1

(a) Vypocítejte $x+y$ , jestliže $xy=\dfrac{x}{y}=x-y$ .
(b) Vypocítejte $x^3+\dfrac{1}{x^3}$ , jestliže $x+\dfrac{1}{x}=3$ .
(c) Vypocítejte $x^3-\dfrac{1}{x^3}$ , jestliže $x-\dfrac{1}{x}=3$ .
(d) Vypocítejte $x^3-\dfrac{1}{x^3}$ , jestliže $x+\dfrac{1}{x}=3$ .
(e) Vypocítejte $x^2+\sqrt{\dfrac{1}{x^2}}$ , jestliže $x+\dfrac{1}{x}=4$ a $x<2$ .
(f) Vypocítejte $\left|x-\dfrac{1}{x}\right|$ , jestliže $x+\dfrac{1}{x}=3$ .
(g) Vypocítejte $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ , jestliže $x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{13}6$ .

Řešení	Ukázat
(a) $x+y=-\frac32$ , (b) $x^3+\frac1{x^3}=18$ (c) $x^3-\frac1{x^3}=36$ (d) $x^3-\frac1{x^3}=\pm8\sqrt5$ (e) $x^2+\sqrt{\frac{1}{x^2}}=9-3\sqrt3$ (f) $\left\|x-\frac{1}{x}\right\|=\frac{\sqrt5}2$ (g) $x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{97}{36}$

Příklad 2

(a) Jestliže $\begin{cases}x+y=11\\ xy=15\end{cases}$ , vypočítejte $x^2+y^2$ .	(b) Jestliže $\begin{cases}x+y=3\\ x^2+y^2=7\end{cases}$ , vypočítejte $x^4+y^4$ .
(c) Jestliže $\begin{cases}x^2+y^2=7\\x^2-y^2=25\end{cases}$ , vypočítejte $x^4-y^4$ .	(d) Jestliže $\begin{cases}xy\\ x^2+y^2=5\end{cases}$ , vypočítejte $\dfrac xy+\dfrac yx$ .
(e) Jestliže $\begin{cases}(x^2-y^2)(x^2-2xy+y^2)=3\\x-y=1\end{cases}$ , vypočítejte $xy$ .	(f) Jestliže $\begin{cases}x+y=2\\ x^2+y^2=5\end{cases}$ , vypočítejte $x^3+y^3$ .
(g) Jestliže $\begin{cases}x+y=1\\ x^2+y^2=5\end{cases}$ , vypočítejte $x^7+y^7$ .	(h) Jestliže $\begin{cases}x-y=1\\xy=1\end{cases}$ , vypočítejte $x^3-y^3$ .
(i) Jestliže $\begin{cases}(x^2+y^2)^2=100\\ (x^2+y^2)^2=60\end{cases}$ , vypočítejte $\|xy\|$ .	(j) Jestliže $\begin{cases}x^2+y^2=10\\ x^2-y^2=1\end{cases}$ , vypočítejte $\|xy\|$ .
(k) Jestliže $\begin{cases}x^2+y^2=20\\ x^2-y^2=2\end{cases}$ , vypočítejte $\|xy\|$ .	(l) Jestliže $\begin{cases}yz=1\\ zx=2\\ xy=3\end{cases}$ , vypočítejte $x^2+y^2+z^2$ .

Řešení	Ukázat
(a) $91$ (b) $47$ (c) $175$ (d) $\frac52$ (e) $2$ (f) $11$ (g) $127$ (h) $4$ (i) $\sqrt{10}$ (j) $\frac{3\sqrt{11}}2$ (k) $3\sqrt{11}$ (l) $\frac{49}6$

Příklad 3

Určete všechny možné hodnoty výrazu

$1-\dfrac1x-\dfrac6{x^2},$

jestliže platí

$x^2-x-2=0$ .

Řešení	Ukázat
$\{-1-4\}$

Příklad 4

Číslo $a$ je řešením rovnice

$x^2-x-10=0.$

Vypočítejte hodnotu výrazu

$a^4-2a^3+a+5$ .

Řešení	Ukázat
Nápověda: $a^4-2a^3+a+5=a^4-a^3-a^3+a^2-a^2+a+5$ Odpověď: $95$

rovnice

Velká kniha rovnic

Doplňující příklady

Příklad 1

Příklad 2

Příklad 3

Příklad 4