Příklad 1

V možině reálných čísel řešte rovnice

(a) $x^4-6x^2+5=0$	(h) $x^4-3(x^2-1)=7(x^2-3)$
(b) $x^4-5x^2+6=0$	(i) $4x^4-37x^2+9=0$
(c) $x^4-5x^2-24=0$	(j) $8x^4-6x^2+1=0$
(d) $x^4-10x^2+9=0$	(k) $9x^4=37x^2-4$
(e) $x^4-12x^2-64=0$	(l) $x^6-2x^3-3=0$
(f) $x^4-16x^2-80=0$	(m) $x^6-28x^3+27=0$
(g) $8x^4-2x^2-15=0$	(n) $(x+8)^4=(2x+16)^2$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\pm1;\pm\sqrt5\}$ , (b) $x\in\{\pm\sqrt2;\pm\sqrt3\}$ , (c) $x\in\{\pm2\sqrt2\}$ , (d) $x\in\{\pm3;\pm1\}$ , (e) $x\in\{\pm4\}$ , (f) $x\in\{\pm2\sqrt5\}$ , (g) $x\in\{\pm\frac{\sqrt5}2\}$ , (h) $x\in\{\pm2;\pm\sqrt6\}$ , (i) $x\in\{\pm3;\pm\frac12\}$ (j) $x\in\{\pm\frac12;\pm\frac{\sqrt2}2\}$ , (k) $x\in\{\pm2;\pm\frac13\}$ , (l) $x\in\{-1;\sqrt[3]3\}$ , (m) $x\in\{1;3\}$ , (n) $x\in\{-10;-8;-6\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in\{\pm1;\pm\sqrt5\}$ , (b)

$x\in\{\pm\sqrt2;\pm\sqrt3\}$ , (c)

$x\in\{\pm2\sqrt2\}$ , (d)

$x\in\{\pm3;\pm1\}$ , (e)

$x\in\{\pm4\}$ , (f)

$x\in\{\pm2\sqrt5\}$ , (g)

$x\in\{\pm\frac{\sqrt5}2\}$ , (h)

$x\in\{\pm2;\pm\sqrt6\}$ , (i)

$x\in\{\pm3;\pm\frac12\}$ (j)

$x\in\{\pm\frac12;\pm\frac{\sqrt2}2\}$ , (k)

$x\in\{\pm2;\pm\frac13\}$ , (l)

$x\in\{-1;\sqrt[3]3\}$ , (m)

$x\in\{1;3\}$ , (n)

$x\in\{-10;-8;-6\}$

Příklad 2

V možině reálných čísel řešte rovnice

(a) $x^4-7x^2+10 =0$	(h) $x^4=3x^2$
(b) $x^4-29x^2+100=0$	(i) $x^3-4x^2+4x=0$
(c) $x^6-4x^3+3=0$	(j) $x^3-6x=x^2$
(d) $(x^2-4x-5)(x-3)=0$	(k) $x^9-x=0$
(e) $(x+1)(3x^2-3x+2)=0$	(l) $\|x\|+x^3=0$
(f) $5x^6-20x^4=0$	(m) $x^4+2x^3+9x^2+18x=0$
(g) $x^4+8x=0$	(n) $8x^4+4x^3+2x^2+x=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\pm\sqrt2; \pm\sqrt5\}$ , (b) $x\in\{\pm2;\pm5\}$ , (c) $x\in\{1;\sqrt[3]3\}$ , (d) $x\in\{-1;3;5\}$ , (e) $x\in\{-1\}$ , (f) $x\in\{0;\pm2\}$ , (g) $x\in\{-2;0\}$ , (h) $x\in\{0;\pm\sqrt3\}$ , (i) $x\in\{0;2\}$ , (j) $x\in\{-2;0;3\}$ , (k) $x\in\{0;\pm1\}$ , (l) $x\in\{-1;0\}$ , (m) $x\in\{-2;0\}$ , (n) $x\in\{-\frac12;0\}$

Příklad 3

V možině reálných čísel řešte rovnice

(a) $x^3+2x^2-x-2=0$	(g) $2x^3-7x^2+7x-2=0$
(b) $x^3+3x^2-x-3=0$	(h) $3x^3-5x^2-12x+20=0$
(c) $x^3-3x^2+x-3=0$	(i) $2x^3+3x^2-12x-18=0$
(d) $x^3+3x^2+3x+1=0$	(j) $x^3+5x^2-2x-4=0$
(e) $x^3-3x^2+3x-1=0$	(k) $x^3-4x^2-5x=0$
(f) $2x^3-3x^2-3x+2=0$	(l) $2x^{8}-10x^{5}+12x^{2}=0$
(m) $6x^3-19x^2+19x-6=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{-2;\pm1\}$ , (b) $x\in\{-3;\pm1\}$ , (c) $x\in\{3\}$ , (d) $x\in\{-1\}$ , (e) $x\in\{1\}$ , (f) $x\in\{-1;\frac12;2\}$ , (g) $x\in\{\frac12;1;2\}$ , (h) $x\in\{\pm2;\frac53\}$ , (i) $x\in\{\}$ , (j) $x\in\{1;-3\pm\sqrt5\}$ , (k) $x\in\{-1;0;5\}$ , (l) $x\in\{0;\sqrt[3]2;\sqrt[3]3\}$ (m) $x\in\{\frac23;1;\frac32\}$

Příklad 4

V možině reálných čísel řešte rovnice

(a) $6x^3-7x^2-7x+6=0$	(b) $7x^3+57x^2+57x+7=0$
(c) $x^4-7x^3+14x^2-7x+1=0$	(d) $5x^4-26x^3+10x^2-26x+5=0$
(e) $6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0$	(f) $12x^4-4x^3-41x^2-4x+12=0$
(g) $2x^5+5x^4-13x^3-13x^2+5x+2=0$	(h) $6x^5+x^4-43x^3-43x^2+x+6=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{-1;\frac23;\frac32\}$ (b) $x\in\{-7;-1;-\frac17\}$ (c) $x\in\{2\pm\sqrt3;\frac{3\pm\sqrt5}2\}$ nápověda: vydělit $x^2$ a substituce $t=x+\frac1x$ (d) $x\in\{\frac15;5\}$ (e) $x\in\{-3;-\frac13;\frac12;2\}$ (f) $x\in\{-\frac32;-\frac23;\frac12;2\}$ (g) $x\in\{-1;\frac12;2;-2\pm\sqrt3\}$ nápověda: jeden kořen uhodneme (h) $x\in\{-2;-1;-\frac12;\frac13;3\}$

Příklad 5

V možině reálných čísel řešte rovnice

(a) $x^4-6x^3-2x^2+6x+1=0$	(b) $4x^2-8x^3+5x-1=0$
(c) $x^4-4x^3+3x^2+4x-4=0$	(d) $x^3-6x^2+11x-6=0$
(e) $9x^2-x^3-23x+15=0$	(f) $x^3+5x^2-2x-4=0$
(g) $2x^3-x^2-2x+1=0$	(h) $3x^3-13x^2-14x+6=0$
(i) $9x^2+\dfrac2{x^2}=11+3x-\dfrac3x$	(j) $2x^2+\dfrac1{x^2}=2x+3-\dfrac2x$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\pm1;3\pm\sqrt{10}\}$ , (b) $x\in\{1;\frac{-1\pm\sqrt3}4\}$ , (c) $x\in\{\pm1;2\}$ , (d) $x\in\{1;2;3\}$ , (e) $x\in\{1;3;5\}$ , (f) $x\in\{1;-3\sqrt5\}$ , (g) $x\in\{\pm1;\frac12\}$ , (h) $x\in\{\frac13;2\pm\sqrt{10}\}$ (i) $x\in\{\pm1;-\frac13;\frac23\}$ (j) $x\in\{\pm1;\frac{1\pm\sqrt3}2\}$

Příklad 6

V možině reálných čísel řešte rovnice

(a) $(x^2-5x+5)^2-1=0$	(e) $(x^2+4x-2)^2=(5x^2-1)^2$
(b) $(x^2-5x-1)^2-25=0$	(f) $\displaystyle \frac{x^2-3}{2}=\frac{2}{x^2-3}$
(c) $x^4-6x^2+9=3x^3-9x$	(g) $(3x^2+2x)^2=(x^2+2x+1)^2$
(d) $x^4+6x^2+9=36x^2-72x+36$	(h) $x^2-14x+49=4x^2-4x+1$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{1;2;3;4\}$ (b) $x\in\{\pm1;4;6\}$ (c) $x\in\{\pm\sqrt3; \frac{3\pm\sqrt{21}}2\}$ (d) $x\in\{3;-3\pm2\sqrt3\}$ (e) $x\in\{\frac12; \frac{-1\pm\sqrt{\frac{11}2}}3\}$ (f) $x\in\{\pm1;\pm\sqrt5\}$ (g) $x\in\{-\frac12;\pm\frac{\sqrt2}2\}$ (h) $x\in\{-6;\frac83\}$

Příklad 7

V možině reálných čísel řešte rovnice

(a) $(x^2-5x+2)^2+6(x^2-5x+1)+14=0$

(b) $(x^2+5x)^2-2(x^2+5x)-24=0$

(d) $(3x^2+x-2)^2-30x^2-10x = -36$

(e) $\dfrac{15}{x^2+x+1}=(x+1)^2+x^2$

(f) $(x-5)(x-3)(x-1)(x+1)=(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)$

(g) $x(x+1)(x+2)(x+3)=24$

(h) $x^4+3x^2-3+\sqrt5=0$

(i) $x^7+3x^6+5x^5+7x^4+7x^3+5x^2+3x+1=0$

(j) $\dfrac{1}{x}-\dfrac{5}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}=x^3-5x^2+6x$

(k) $(6-x)(x+1)-\dfrac{2(4x-3)}{x^2-1}=\dfrac x{1-x}$

(l) $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{5(2-x^2)}{2x}$

(m) $\dfrac{1}{x+6}+\dfrac{1}{x+7}-\dfrac{1}{x+9}-\dfrac{1}{x+10}=\dfrac{21}{20}$

(n) $3x^4+2=\dfrac4{1+x^4}$

(o)* $x^4+(1-x)^4=17$

(p) $x^4-10x^2-12(1+\sqrt7)=0$

(q) $x^4+2x^2-15=0$

(r) $(x^2-x+1)^3+2x^4(x^2-x+1)-3x^6=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{1;2;3;4\}$ (b) $x\in\{-6;-4;-1;1\}$ (c) $x\in\{-2;1\}$ (d) $x\in\{-2;-\frac43;1;\frac53\}$ (e) $x\in\{-2;1\}$ (f) $x\in\{\pm1;0\}$ (g) $x\in\{-4;1\}$ (h) $x\in\{\pm\sqrt{\sqrt5-2}\}$ (i) $x\in\{-1\}$ (j) $x\in\{\pm1;2;3\}$ (k) $x\in\{-2;0;6\}$ (l) $x\in\{-2;1;-2\pm\sqrt6\}$ (m) $x\in\{-11;-5;-8\pm2\sqrt{\frac37}\}$ (n) $x\in\{\pm\frac1{\sqrt[4]3}\}$ (o) $x\in\{-1;2\}$ nápověda: substitucí $y=1-x$ převést na soustavu $\begin{cases}x^4+y^4=17\\x+y=1\end{cases}$ (p) $x=\pm(1+\sqrt7)$ (q) $x=\pm\sqrt3$ (r) nápověda: vydělte rovnici výrazem $x^6$ a udělejte vhodnou substituci. $x=1$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in\{1;2;3;4\}$ (b)