# Rovnice s odmocninami

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $\sqrt{x+5}=x-1$ (b) $\sqrt{5-x}=x+1$ (c) $\sqrt{2-x}=x-1$ (d) $x-\sqrt{x+1}=5$ (e) $5+\sqrt{x+7}=x$ (f) $5\sqrt{x}=6-x$ (g) $|x-2|=\sqrt{2x}$ (h) $6+\sqrt{x+6}=x$ (i) $x+\sqrt{x+2}=4$ (j) $x+\sqrt{x-2}=4$ (k) $\sqrt{x+1}=1-x$ (l) $\sqrt{x+7}+x=13$ (m) $5-\sqrt{x+7}=x$ (n) $\sqrt{2+\sqrt x}=3$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $\sqrt{3x-2}=x-2$ (b) $\sqrt{2x-3}=x-3$ (c) $\sqrt{3x+39}=x-5$ (d) $\sqrt{3x-11}=x-5$ (e) $\sqrt{3x+6}=x-4$ (f) $\sqrt{2x-1}=x-2$ (g) $\sqrt{3x+3}=x-5$ (h) $\sqrt{4x-12}=x-6$ (i) $\sqrt{2x-5}=x-4$ (j) $\sqrt{2x+53}=x-5$ (k) $\sqrt{3x+34}=x-2$ (l) $\sqrt{2x+5}=x-5$ (m) $2+\sqrt{x-2}=x-2$ (n) $x=1+\sqrt{3x+15}$ (o) $2x-\sqrt{8x+5}=2x$ (p) $\sqrt{1+4x-x^2}=x-1$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $4\sqrt{x+6}=x+1$ (b) $\sqrt{5-x^2}=x+1$ (c) $\sqrt{17-x^2}=3-x$ (d) $\sqrt{1+4x-x^2}=x-1$ (e) $\sqrt{4-6x-x^2}=x+4$ (f) $x=1+\sqrt{7-x}$ (g) $\sqrt{7-x}=2x+1$ (h) $\sqrt{6+x}=3-2x$ (i) $\sqrt{3x^2+5x-2}=3x-1$ (j) $\sqrt{5x+3-2x^2}=2x+1$ (k) $\sqrt{x^2-7x}-\sqrt{x-3}=0$ (l) $\sqrt{x^2-3x}-\sqrt{x-1}=0$ (m) $(x^2-4)\cdot\sqrt{x+1}=0$ (n) $(x^2-1)\cdot\sqrt{2x-1}=0$ (o) $x-1=\sqrt{x^4+x^3-x^2-2x+1}$ (p) $2x-1=\sqrt{x^4+x^3-2x^2-4x+1}$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $\sqrt{5x-9}=2x-3$ (b) $\sqrt{5x-\dfrac72}=2x-1$ (c) $\sqrt{|5x+4|-5}=2x-1$ (d) $\sqrt{|5x-2|-\dfrac32}=2x-1$ (e) $\dfrac{\sqrt{x+2}-x}{2-x}=\dfrac45$ (f) $\dfrac{\sqrt{5x-4}-x}{4-x}=\dfrac12$ (g) $\sqrt{\dfrac x{x+1}}=\dfrac{\sqrt{2x^2+5x}}{x+2}$ (h) $\sqrt{\dfrac x{2x-5}}=\dfrac{\sqrt{x^2-x}}{2-x}$ (i) $\dfrac{\sqrt{2x^2-x-3}}{x+1}=\dfrac{\sqrt{4x^2-2x-6}}{3x-1}$ (j) $\dfrac{\sqrt{8x^2-2x-6}}{4x+3}=\dfrac{\sqrt{4x^2-x-3}}{4x+1}$ (k) $\sqrt[3]{\dfrac{3x+1}{x-1}}=\sqrt{\dfrac{3x+1}{x+1}}$ (l) $\sqrt[3]{\dfrac{2x-1}{x+1}}=\sqrt{\dfrac{2x-1}{x-1}}$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $2\sqrt{x+1}+\sqrt{4x-3}=3$ (b) $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$ (c) $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x-1}=2$ (d) $2\sqrt{x+2}+\sqrt{2-4x}=\sqrt{10}$ (e) $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}=7$ (f) $\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}=3$ (g) $\sqrt{x+13}-\sqrt{7-x}=2$ (h) $\sqrt{4x+6}=\sqrt{2x-4}$ (i) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+3}=1$ (j) $\sqrt{2(x-2)-1}=5$ (k) $\sqrt{3x+4}=2+\sqrt{2x-4}$ (l) $1+\sqrt{x+6}=\sqrt{2x+10}$ (m) $\sqrt{2-x}=1+\sqrt{x}$ (n) $\sqrt{2x^2-3}=2x-3$ (o) $\sqrt{1+x}-\sqrt{4-x}=1$ (p) $\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1}=1$ (q) $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+4}=5$ (r) $\sqrt{-x}=2-\sqrt{2-x}$ (s) $\sqrt {x+2}-\sqrt {2x-3}=1$ (t) $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x}=1$ (u) $\sqrt{6x+7}-\sqrt{3x+3}=1$ (v) $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=5$ (w) $\sqrt{2x+3}-\sqrt{4-x}=2$ (x) $\sqrt{3x-2}-\sqrt{x-2}=2$ (y) $\sqrt{x^2+165}-\sqrt{x^2-52}=7$ (z) $\sqrt{x-3}-1=\sqrt{4-x}$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $8^{\frac16}+x^{\frac13}=\dfrac7{3-\sqrt2}$ (b) $\sqrt{2x+5}+\sqrt{6+x}=3$ (c) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}=3$ (d) $\sqrt{2x-2}+\sqrt{x-2}=3$ (e) $\sqrt{2x+1}+\sqrt{6x+4}=1$ (f) $\sqrt{1-x}-\sqrt{2x-1}=-1$ (g) $\sqrt{4x(x+1)+1}+\sqrt{4x(x-1)+1}=2$ (h) $\sqrt{x^2+4(x+1)}+\sqrt{x^2-4(x-1)}=4$ (i) $\sqrt{x^2-3x}+\sqrt{x^2-35x}=8$ (j) $\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+8x}=5$ (k) $\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2-2x}=2$ (l) $\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2}=1$ (m) $\sqrt{\dfrac{2x+3}{x+1}}+\sqrt{\dfrac{3x}{x+1}}=3$ (n) $\sqrt{\dfrac{3x-2}{x-1}}+\sqrt{\dfrac{3x-5}{x-1}}=3$ (o) $\displaystyle \sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}}+\sqrt{x+1-\sqrt{x+7}}=4$ (p) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{4x+5}$ (b) $\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}$ (c) $\sqrt{3x+12}-\sqrt{x+1}=\sqrt{4x+13}$ (d) $2\sqrt{x-2}+\sqrt{4x+2}=\sqrt{8x-6}$ (e) $\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2x+3}$ (f) $\sqrt{1-x}=\sqrt{6-x}-\sqrt{-5-2x}$ (g) $\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = \sqrt{6-x}$ (h) $\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-3}=\sqrt{4x-7}$ (i) $2\sqrt{x^2-1}+\sqrt2x=2\sqrt{x^2+1}-\sqrt2x$ (j) $\sqrt{x^2+2}-\dfrac x{\sqrt2}=\sqrt{x^2-2}+\dfrac x{\sqrt2}$ (k) $\sqrt{x^2+6}-\sqrt{x^2+16}-x=0$ (l) $\sqrt{x^2-5}+\sqrt{10-x^2}+x=0$ (m) $\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x+2}-\sqrt{3x}$ (n) $\sqrt{2x-2}-\sqrt{x-2}=\sqrt{4x+4}-\sqrt{3x}$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $x\cdot\sqrt{x^2+15}-\sqrt x\cdot\sqrt[4]{x^2+15}=2$ (b) $3\sqrt{x+4}=5-2|x+2|$ (c) $4-x=5\sqrt{|2+x|}$ (d) $x+2=5\sqrt{|4-x|}$ (e) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{3x-5}=3\sqrt{x-1}$ (f) $\sqrt{3x+2}+\sqrt{3x+5}=3\sqrt{x+1}$ (g) $\sqrt{7x+1}-\sqrt{3x-18}=\sqrt{2x+7}$ (h) $\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{6x-11}$ (i) $2x+5=\sqrt{x^4-6x^3-22x^2+20x+25}$ (j) $3x+7=\sqrt{x^4-4x^3-10x^2+42x+49}$ (k) $\sqrt{8x^2+3x+4}=2+\sqrt{x+1}$ (l) $\sqrt{8x^2-2x+1}=2+\sqrt{2x+1}$ (m) $x\cdot\sqrt{\dfrac{x-3}x}=x^2-3x-6$ (n) $x\cdot\sqrt{\dfrac{x+2}x}=x^2+2x-2$ (o) $\displaystyle\sqrt{3-x}+\sqrt{\,3+x}=x$ (p) $\dfrac{1}{\sqrt x} +\dfrac{1}{x+\sqrt x}=1$ (q) $3\cdot\sqrt {x+4}=5-2\left| x+2\right|$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=3$ (b) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6+5\sqrt{x}}}=\frac{1}{\sqrt{15-2\sqrt{x}}}$ (c) $x^2+9x+15=2\sqrt{x^2+9x+30}$ (d) $\displaystyle \sqrt{4x+\sqrt{17x^2+2}}=x+2$ (e) $\displaystyle \sqrt{1+x+\sqrt{x}}=\sqrt{x+\sqrt{x+5}}$ (f) $\displaystyle \sqrt{1+x+\sqrt{x}}=\sqrt{x+\sqrt{x+7}}$ (g) $x\cdot\sqrt{\dfrac{x+3}x}=(2-x)\sqrt{\dfrac{2x-6}{x-2}}$ (h) $x\cdot\sqrt{\dfrac{x+1}x}=(4-x)\sqrt{\dfrac{2x-7}{x-4}}$ (i) $(x-1)\cdot\sqrt{x}=(5x-2)\cdot\sqrt{x^2-x}$ (j) $(x+2)\cdot\sqrt{x}=(2x-6)\cdot\sqrt{x^2+2x}$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $\displaystyle \sqrt{7-\sqrt{x-3}}=2$ (b) $\sqrt{3+\sqrt{x-1}}=5$ (c) $\sqrt{14+\sqrt{27-\sqrt{x-1}}}=4$ (d) $\displaystyle \sqrt{x+1-3\sqrt{x-5}}=\sqrt{x}-1$ (e) $\displaystyle \sqrt{x+7-2\sqrt{5-x}}=1+\sqrt{x}$ (f) $\displaystyle 1+\sqrt{x+1-2\sqrt{8-x}}=\sqrt{x}$ (g) $\displaystyle \sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$ (h) $\displaystyle 5+\sqrt{16x^2-37x-2}=4x$ (i) $\displaystyle 1+\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x$ (j) $\displaystyle \sqrt{9x^2+4\sqrt{6x+2}}=3x+2$ (k) $\displaystyle \sqrt{x^2+\sqrt{4x+5}}=x+1$ (l) $\displaystyle \sqrt{1+x\sqrt{x^2+24}}=x+1$ (m) $\displaystyle \sqrt{1+x\sqrt{2x^2+8}}=x+1$ (n) $\displaystyle \sqrt{4x^2-\sqrt{8x+5}}=2x+1$ (o) $\sqrt{4x^2-\sqrt{8x+5}}=2x$ (p) $\displaystyle \sqrt{-x-\sqrt{1-x}}=1$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a $\sqrt{4x-1}=\sqrt{x+2}-3$ (b) $\sqrt{3-x}-\sqrt x=\sqrt{3-2x}$ (c) $\dfrac{\sqrt{x+1}-1}x=\dfrac1{\sqrt{x+1}+1}$ (d) $\sqrt{72-\dfrac{72}x}+\sqrt{x-\dfrac{72}x}=x$ (e) $2x^{\frac12}-3-2x^{-\frac12}=0$ (f) $x^{\frac53}-6x=x^{\frac43}$ (g) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$ (h) $\sqrt{2x^2-7x+1}-\sqrt{2x^2-9x+4}=1$ (i) $\dfrac{\sqrt{x^2-9}+3\sqrt{x^2-1}}{x^2}-\dfrac12\sqrt{3}=0$ (j) $\sqrt{x+4+2\sqrt{x+3}}-(x^2+4x+3)^{\frac13}=1$ (k) $\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}}=4$ (l) $\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=\dfrac{15}{\sqrt{x+4}}$ (m) $\sqrt[3]{x^3+3x^2-4x+1}=\dfrac12+\left|x-\dfrac12\right|$ (n) $\sqrt[3]{8+16x+6x^2-x^3}=|x+1|+1$ (o) $(x-1)\cdot\sqrt{2(x+2)}=x-\sqrt{(2-x)(2+x)}$ (p) $(2x+1)\cdot\sqrt{1-x}=x+\sqrt{1-x^2}$ (q) $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x-2}=x$ (r) $\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)^2}2}-\sqrt[3]{\dfrac{(x-1)^2}2}=x$
Řešení Ukázat

Vhodnou substitucí řešte v množině reálných čísel rovnice

 (a) $\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2x+6}{x+2}}+4\sqrt{\frac{x+2}{2x+6}}=5$ (b) $\displaystyle \sqrt{\frac{x-3}{x+2}}+\frac{5}{6}=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$ (c) $\displaystyle 2\sqrt{\frac{2x-1}{x+3}}+\frac{19}{3}+5\sqrt{\frac{x+3}{2x-1}}=0$ (d) $\displaystyle \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{3}{2}$ (e) $\displaystyle \frac{x+1}{x}-2\sqrt{\frac{x+1}{x}}=3$ (f) $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{25-x}{3+x}}+3\sqrt[3]{\frac{3+x}{25-x}}=4$ (g) $\displaystyle \sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$ (h) $\displaystyle 3x^2+15x+2\sqrt{x^2+5x+1}=2$ (i) $\displaystyle 3x^2-5x+\sqrt{3x^2-5x+4}=16$ (j) $\displaystyle x^2-3x+2\sqrt{x^2-3x+4}=4$ (k) $\displaystyle \sqrt{x^2+4x+8}+\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{2(x^2+4x+6)}$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2$ (b) $x\sqrt {x^{2}+15}-\sqrt {x}\cdot \sqrt[4]{x^{2}+15}=2$ (c) $\displaystyle \frac{2-x}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}=0$ (d) $\displaystyle \frac{3+x}{3x}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{2}{x^2}}}$ (e) $\displaystyle \sqrt{\frac{x-5}{x+2}}+\sqrt{\frac{x-4}{x+3}}=\frac{7}{x+2}\cdot\sqrt{\frac{x+2}{x+3}}$ (f) $\displaystyle \frac{4}{x+\sqrt{x^2+x}}-\frac{1}{x-\sqrt{x^2+x}}=\frac{3}{x}$ (g) $\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$ (h) $\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}=3\cdot\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$ (i) $\displaystyle \left(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}\right)^4=(4+\sqrt{x})^2$ (j) $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x^2+2}+x}-\sqrt{\sqrt{x^2+2}-x}=2\cdot\sqrt[4]{2}$ (k) $\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x-3}}+\sqrt{x+3}=\frac{7}{\sqrt{x-3}}$ (l) $\sqrt{1+x\sqrt{x+\dfrac{7}{4} } }=1-x$ (m) $x-\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}}=0$ (n) $2x\cdot\sqrt{x+2}+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x+2} }=0$
Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnici

Řešení Ukázat

V množině reálných čísel řešte rovnice

 (a) $\dfrac{x^2-x}{x-\sqrt x}=6$ (b) $\dfrac{\sqrt{x^2+x+4}}{x-1}=2$
Řešení Ukázat

 (a) $3x-2\sqrt x-1=0$ (b) $\sqrt x-5\cdot\sqrt[4]{x}+6=0$ (c) $\dfrac{x}{x+1}-2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=3$ (d) $\dfrac{25}{2x+1}+\dfrac{10}{\sqrt{2x+1}}=3$ (e) $\sqrt{x-1}-\dfrac{15}{\sqrt{x-1}}=2$ (f) $2\sqrt{2x-1}-\dfrac{13}{\sqrt{2x-1}}=-11$ (g) $\left(3-\sqrt{\dfrac{x+4}{2-x}}\right)\cdot\left(2+\sqrt{\dfrac{x+4}{2-x}}\right)=6$ (h) $(2x+\sqrt{x+1})\cdot(2x+\sqrt{x+1}-8)-2(2x+\sqrt{x+1})=24$