Příklad 1

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\sqrt{x+5}=x-1$	(b) $\sqrt{5-x}=x+1$
(c) $\sqrt{2-x}=x-1$	(d) $x-\sqrt{x+1}=5$
(e) $5+\sqrt{x+7}=x$	(f) $5\sqrt{x}=6-x$
(g) $\|x-2\|=\sqrt{2x}$	(h) $6+\sqrt{x+6}=x$
(i) $x+\sqrt{x+2}=4$	(j) $x+\sqrt{x-2}=4$
(k) $\sqrt{x+1}=1-x$	(l) $\sqrt{x+7}+x=13$
(m) $5-\sqrt{x+7}=x$	(n) $\sqrt{2+\sqrt x}=3$

Řešení	Ukázat
(a) $x=4$ (b) $x=1$ (c) $x=\frac{\sqrt5+1}2$ (d) $x=8$ (e) $x=8$ (f) $x=1$ (g) $x=3\pm\sqrt5$ (h) $x=10$ (i) $x=2$ (j) $x=3$ (k) $x=0$ (l) $x=9$ (m) $x=2$ (n) $x=49$

Příklad 2

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\sqrt{3x-2}=x-2$	(b) $\sqrt{2x-3}=x-3$
(c) $\sqrt{3x+39}=x-5$	(d) $\sqrt{3x-11}=x-5$
(e) $\sqrt{3x+6}=x-4$	(f) $\sqrt{2x-1}=x-2$
(g) $\sqrt{3x+3}=x-5$	(h) $\sqrt{4x-12}=x-6$
(i) $\sqrt{2x-5}=x-4$	(j) $\sqrt{2x+53}=x-5$
(k) $\sqrt{3x+34}=x-2$	(l) $\sqrt{2x+5}=x-5$
(m) $2+\sqrt{x-2}=x-2$	(n) $x=1+\sqrt{3x+15}$
(o) $2x-\sqrt{8x+5}=2x$	(p) $\sqrt{1+4x-x^2}=x-1$

Řešení	Ukázat
(a) $x=6$ (b) $x=6$ (c) $x=14$ (d) $x=9$ (e) $x=10$ (f) $x=5$ (g) $x=11$ (h) $x=12$ (i) $x=7$ (j) $x=14$ (k) $x=10$ (l) $x=10$ (m) $x=6$ (n) $x=7$ (o) $x=-\frac58$ (p) $x=3$

Příklad 3

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $4\sqrt{x+6}=x+1$	(b) $\sqrt{5-x^2}=x+1$
(c) $\sqrt{17-x^2}=3-x$	(d) $\sqrt{1+4x-x^2}=x-1$
(e) $\sqrt{4-6x-x^2}=x+4$	(f) $x=1+\sqrt{7-x}$
(g) $\sqrt{7-x}=2x+1$	(h) $\sqrt{6+x}=3-2x$
(i) $\sqrt{3x^2+5x-2}=3x-1$	(j) $\sqrt{5x+3-2x^2}=2x+1$
(k) $\sqrt{x^2-7x}-\sqrt{x-3}=0$	(l) $\sqrt{x^2-3x}-\sqrt{x-1}=0$
(m) $(x^2-4)\cdot\sqrt{x+1}=0$	(n) $(x^2-1)\cdot\sqrt{2x-1}=0$
(o) $x-1=\sqrt{x^4+x^3-x^2-2x+1}$	(p) $2x-1=\sqrt{x^4+x^3-2x^2-4x+1}$

Řešení	Ukázat
(a) $x=19$ (b) $x=1$ (c) $x=-1$ (d) $x=3$ (e) $x=-1$ (f) $x=3$ (g) $x=\frac34$ (h) $x=\frac14$ (i) $x\in\{\frac13;\frac32\}$ (j) $x\in\{-\frac12;\frac23\}$ (k) $x=4+\sqrt{13}$ (l) $x=2+\sqrt{3}$ (m) $x\in\{-1;2\}$ (n) $x\in\{\frac12;1\}$ (o) $x=1$ (p) $x=2$

Příklad 4

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\sqrt{5x-9}=2x-3$	(b) $\sqrt{5x-\dfrac72}=2x-1$
(c) $\sqrt{\|5x+4\|-5}=2x-1$	(d) $\sqrt{\|5x-2\|-\dfrac32}=2x-1$
(e) $\dfrac{\sqrt{x+2}-x}{2-x}=\dfrac45$	(f) $\dfrac{\sqrt{5x-4}-x}{4-x}=\dfrac12$
(g) $\sqrt{\dfrac x{x+1}}=\dfrac{\sqrt{2x^2+5x}}{x+2}$	(h) $\sqrt{\dfrac x{2x-5}}=\dfrac{\sqrt{x^2-x}}{2-x}$
(i) $\dfrac{\sqrt{2x^2-x-3}}{x+1}=\dfrac{\sqrt{4x^2-2x-6}}{3x-1}$	(j) $\dfrac{\sqrt{8x^2-2x-6}}{4x+3}=\dfrac{\sqrt{4x^2-x-3}}{4x+1}$
(k) $\sqrt[3]{\dfrac{3x+1}{x-1}}=\sqrt{\dfrac{3x+1}{x+1}}$	(l) $\sqrt[3]{\dfrac{2x-1}{x+1}}=\sqrt{\dfrac{2x-1}{x-1}}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{2;\frac94\}$ (b) $x\in\{\frac34;\frac32\}$ (c) $x=2$ (d) $x\in\{\frac34;\frac32\}$ (e) $x=7$ (f) $x=8$ (g) $x=0$ (h) $x=0$ (i) $x\in\{\frac32;\frac{5+4\sqrt7}7\}$ (j) $x=1$ (k) $x\in\{-\frac13;2+\sqrt5\}$ (l) $x\in\{\frac12;-3-2\sqrt3\}$

Příklad 5

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $2\sqrt{x+1}+\sqrt{4x-3}=3$	(b) $\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$
(c) $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x-1}=2$	(d) $2\sqrt{x+2}+\sqrt{2-4x}=\sqrt{10}$
(e) $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}=7$	(f) $\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}=3$
(g) $\sqrt{x+13}-\sqrt{7-x}=2$	(h) $\sqrt{4x+6}=\sqrt{2x-4}$
(i) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+3}=1$	(j) $\sqrt{2(x-2)-1}=5$
(k) $\sqrt{3x+4}=2+\sqrt{2x-4}$	(l) $1+\sqrt{x+6}=\sqrt{2x+10}$
(m) $\sqrt{2-x}=1+\sqrt{x}$	(n) $\sqrt{2x^2-3}=2x-3$
(o) $\sqrt{1+x}-\sqrt{4-x}=1$	(p) $\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1}=1$
(q) $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+4}=5$	(r) $\sqrt{-x}=2-\sqrt{2-x}$
(s) $\sqrt {x+2}-\sqrt {2x-3}=1$	(t) $\sqrt{5x-1}-\sqrt{x}=1$
(u) $\sqrt{6x+7}-\sqrt{3x+3}=1$	(v) $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=5$
(w) $\sqrt{2x+3}-\sqrt{4-x}=2$	(x) $\sqrt{3x-2}-\sqrt{x-2}=2$
(y) $\sqrt{x^2+165}-\sqrt{x^2-52}=7$	(z) $\sqrt{x-3}-1=\sqrt{4-x}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{\frac79\}$ (b) $x\in\{-1\}$ (c) $x\in\emptyset$ (d) $x\in\{-2;\frac12\}$ (e) $x\in\{6\}$ (f) $x\in\emptyset$ (g) $x\in\{3\}$ (h) $x\in\emptyset$ (i) $x\in\emptyset$ (j) $x\in\{15\}$ (k) $x\in\{4;20\}$ (l) $x\in\{3\}$ (m) $x\in\{\frac{1-\sqrt3}2\}$ (n) $x\in\{3\sqrt3\}$ (o) $x\in\{3\}$ (o) $x\in\{0\}$ (p) $x\in\{0\}$ (q) $x\in\{5\}$ (r) $x\in\{-\frac14\}$ (s) $x\in\{2\}$ (t) $x\in\{1\}$ (u) $x\in\{-1;\frac13\}$ (v) $x\in\{342\}$ (w) $x\in\{3\}$ (x) $x\in\{2;6\}$ (y) $x\in\{\pm14\}$ (z) $x\in\{4\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x\in\{\frac79\}$ (b)

$x\in\{-1\}$ (c)

$x\in\emptyset$ (d)

$x\in\{-2;\frac12\}$ (e)

$x\in\{6\}$ (f)

$x\in\emptyset$ (g)

$x\in\{3\}$ (h)

$x\in\emptyset$ (i)

$x\in\emptyset$ (j)

$x\in\{15\}$ (k)

$x\in\{4;20\}$ (l)

$x\in\{3\}$ (m)

$x\in\{\frac{1-\sqrt3}2\}$ (n)

$x\in\{3\sqrt3\}$ (o)

$x\in\{3\}$ (o)

$x\in\{0\}$ (p)

$x\in\{0\}$ (q)

$x\in\{5\}$ (r)

$x\in\{-\frac14\}$ (s)

$x\in\{2\}$ (t)

$x\in\{1\}$ (u)

$x\in\{-1;\frac13\}$ (v)

$x\in\{342\}$ (w)

$x\in\{3\}$ (x)

$x\in\{2;6\}$ (y)

$x\in\{\pm14\}$ (z)

$x\in\{4\}$

Příklad 6

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $8^{\frac16}+x^{\frac13}=\dfrac7{3-\sqrt2}$	(b) $\sqrt{2x+5}+\sqrt{6+x}=3$
(c) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}=3$	(d) $\sqrt{2x-2}+\sqrt{x-2}=3$
(e) $\sqrt{2x+1}+\sqrt{6x+4}=1$	(f) $\sqrt{1-x}-\sqrt{2x-1}=-1$
(g) $\sqrt{4x(x+1)+1}+\sqrt{4x(x-1)+1}=2$	(h) $\sqrt{x^2+4(x+1)}+\sqrt{x^2-4(x-1)}=4$
(i) $\sqrt{x^2-3x}+\sqrt{x^2-35x}=8$	(j) $\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+8x}=5$
(k) $\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2-2x}=2$	(l) $\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2}=1$
(m) $\sqrt{\dfrac{2x+3}{x+1}}+\sqrt{\dfrac{3x}{x+1}}=3$	(n) $\sqrt{\dfrac{3x-2}{x-1}}+\sqrt{\dfrac{3x-5}{x-1}}=3$
(o) $\displaystyle \sqrt{x+8+2\sqrt{x+7}}+\sqrt{x+1-\sqrt{x+7}}=4$	(p) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

Řešení	Ukázat
(a) $x=27$ (b) $x=-2$ (c) $x=\frac{21-3\sqrt{37}}2$ (d) $x=3$ (e) $x=-\frac12$ (f) $x=1$ (g) $x\in[-\frac12;\frac12]$ (h) $x\in[-2;2]$ (i) $x=-1$ (j) $x=1$ (k) $x\in\{-\frac23;2\}$ (l) $x\in\{-1;\frac13\}$ (m) $x\in\{-\frac23;3\}$ (n) $x\in\{\frac23;2\}$ (o) $x=2$ (p) $x\in[5;10]$

Příklad 7

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{4x+5}$	(b) $\sqrt{3x+4}-\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}$
(c) $\sqrt{3x+12}-\sqrt{x+1}=\sqrt{4x+13}$	(d) $2\sqrt{x-2}+\sqrt{4x+2}=\sqrt{8x-6}$
(e) $\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2x+3}$	(f) $\sqrt{1-x}=\sqrt{6-x}-\sqrt{-5-2x}$
(g) $\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = \sqrt{6-x}$	(h) $\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-3}=\sqrt{4x-7}$
(i) $2\sqrt{x^2-1}+\sqrt2x=2\sqrt{x^2+1}-\sqrt2x$	(j) $\sqrt{x^2+2}-\dfrac x{\sqrt2}=\sqrt{x^2-2}+\dfrac x{\sqrt2}$
(k) $\sqrt{x^2+6}-\sqrt{x^2+16}-x=0$	(l) $\sqrt{x^2-5}+\sqrt{10-x^2}+x=0$
(m) $\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x+2}-\sqrt{3x}$	(n) $\sqrt{2x-2}-\sqrt{x-2}=\sqrt{4x+4}-\sqrt{3x}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{-1\}$ (b) $x\in\{4\}$ (c) $x\in\{-1\}$ (d) $x\in\{2\}$ (e) $x\in\{\frac52\}$ (f) $x\in\{-3\}$ (g) $x\in\{\frac{12}5;4\}$ () $x\in\{\frac{\sqrt{21}-1}2\}$ (i) $x=1$ (j) $x=\sqrt2$ (k) $x=-\sqrt2$ (l) $x\in\{-3;-\sqrt5\}$ (m) $x=\frac32$ (n) $x=3$

Příklad 8

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $x\cdot\sqrt{x^2+15}-\sqrt x\cdot\sqrt[4]{x^2+15}=2$	(b) $3\sqrt{x+4}=5-2\|x+2\|$
(c) $4-x=5\sqrt{\|2+x\|}$	(d) $x+2=5\sqrt{\|4-x\|}$
(e) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{3x-5}=3\sqrt{x-1}$	(f) $\sqrt{3x+2}+\sqrt{3x+5}=3\sqrt{x+1}$
(g) $\sqrt{7x+1}-\sqrt{3x-18}=\sqrt{2x+7}$	(h) $\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{6x-11}$
(i) $2x+5=\sqrt{x^4-6x^3-22x^2+20x+25}$	(j) $3x+7=\sqrt{x^4-4x^3-10x^2+42x+49}$
(k) $\sqrt{8x^2+3x+4}=2+\sqrt{x+1}$	(l) $\sqrt{8x^2-2x+1}=2+\sqrt{2x+1}$
(m) $x\cdot\sqrt{\dfrac{x-3}x}=x^2-3x-6$	(n) $x\cdot\sqrt{\dfrac{x+2}x}=x^2+2x-2$
(o) $\displaystyle\sqrt{3-x}+\sqrt{\,3+x}=x$	(p) $\dfrac{1}{\sqrt x} +\dfrac{1}{x+\sqrt x}=1$
(q) $3\cdot\sqrt {x+4}=5-2\left\| x+2\right\|$

Řešení	Ukázat
(a) $x=1$ (b) $x\in\{-\frac{15}4;-3;-\frac74\}$ (c) $x\in\{-11;-6;-1\}$ (d) $x\in\{3;8;13\}$ (e) $x=2$ (f) $x=-\frac23$ (g) $x=9$ (h) $x=6$ (i) $x\in\{0;3+\sqrt{35}\}$ (j) $x\in\{0;1+\sqrt{33}\}$ (k) $x\in\{-1;\frac54\}$ (l) $x\in\{-\frac12;\frac32\}$ (m) nápověda: substituce $t=x^2-3x$ $x\in\{-1;\frac{3+3\sqrt5}2\}$ (n) nápověda: substituce $t=x^2+2x$ $x\in\{-1-\sqrt2;\sqrt5-1\}$ (o) $x=2\sqrt2$ (p) $x=2$ (q) $x\in\{-\frac{15}4;-3;-\frac74\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x=1$ (b)

$x\in\{-\frac{15}4;-3;-\frac74\}$ (c)

$x\in\{-11;-6;-1\}$ (d)

$x\in\{3;8;13\}$ (e)

$x=2$ (f)

$x=-\frac23$ (g)

$x=9$ (h)

$x=6$ (i)

$x\in\{0;3+\sqrt{35}\}$ (j)

$x\in\{0;1+\sqrt{33}\}$ (k)

$x\in\{-1;\frac54\}$ (l)

$x\in\{-\frac12;\frac32\}$ (m) nápověda: substituce

$t=x^2-3x$

$x\in\{-1;\frac{3+3\sqrt5}2\}$ (n) nápověda: substituce

$t=x^2+2x$

$x\in\{-1-\sqrt2;\sqrt5-1\}$ (o)

$x=2\sqrt2$ (p)

$x=2$ (q)

$x\in\{-\frac{15}4;-3;-\frac74\}$

Příklad 9

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=3$	(b) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6+5\sqrt{x}}}=\frac{1}{\sqrt{15-2\sqrt{x}}}$
(c) $x^2+9x+15=2\sqrt{x^2+9x+30}$	(d) $\displaystyle \sqrt{4x+\sqrt{17x^2+2}}=x+2$
(e) $\displaystyle \sqrt{1+x+\sqrt{x}}=\sqrt{x+\sqrt{x+5}}$	(f) $\displaystyle \sqrt{1+x+\sqrt{x}}=\sqrt{x+\sqrt{x+7}}$
(g) $x\cdot\sqrt{\dfrac{x+3}x}=(2-x)\sqrt{\dfrac{2x-6}{x-2}}$	(h) $x\cdot\sqrt{\dfrac{x+1}x}=(4-x)\sqrt{\dfrac{2x-7}{x-4}}$
(i) $(x-1)\cdot\sqrt{x}=(5x-2)\cdot\sqrt{x^2-x}$	(j) $(x+2)\cdot\sqrt{x}=(2x-6)\cdot\sqrt{x^2+2x}$

Řešení	Ukázat
(a) $x=\frac53$ (b) $x=\frac{81}{49}$ (c) $x=\frac{-9\pm\sqrt{61}}2$ (d) $x\in\{\pm\sqrt2;\sqrt7\}$ (e) $x=4$ (f) $x=9$ (g) $x=1$ (h) $x=2$ (i) $x\in\{0;1\}$ (j) $x\in\{0;\frac{17}4\}$

Příklad 10

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\displaystyle \sqrt{7-\sqrt{x-3}}=2$	(b) $\sqrt{3+\sqrt{x-1}}=5$
(c) $\sqrt{14+\sqrt{27-\sqrt{x-1}}}=4$	(d) $\displaystyle \sqrt{x+1-3\sqrt{x-5}}=\sqrt{x}-1$
(e) $\displaystyle \sqrt{x+7-2\sqrt{5-x}}=1+\sqrt{x}$	(f) $\displaystyle 1+\sqrt{x+1-2\sqrt{8-x}}=\sqrt{x}$
(g) $\displaystyle \sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$	(h) $\displaystyle 5+\sqrt{16x^2-37x-2}=4x$
(i) $\displaystyle 1+\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x$	(j) $\displaystyle \sqrt{9x^2+4\sqrt{6x+2}}=3x+2$
(k) $\displaystyle \sqrt{x^2+\sqrt{4x+5}}=x+1$	(l) $\displaystyle \sqrt{1+x\sqrt{x^2+24}}=x+1$
(m) $\displaystyle \sqrt{1+x\sqrt{2x^2+8}}=x+1$	(n) $\displaystyle \sqrt{4x^2-\sqrt{8x+5}}=2x+1$
(o) $\sqrt{4x^2-\sqrt{8x+5}}=2x$	(p) $\displaystyle \sqrt{-x-\sqrt{1-x}}=1$

Řešení	Ukázat
(a) $x=12$ (b) $x=485$ (c) $x=530$ (d) $x=9$ (e) $x\in\{1;4\}$ (f) $x=4$ (g) $x=8$ (h) $x=9$ (i) $x=7$ (j) $x\pm\frac13$ (k) $x=1$ (l) $x\in\{0;5\}$ (m) $x\in\{0;2\}$ (n) $x=-\frac12$ (o) $x\in\emptyset$ (p) $x=-3$

Příklad 11

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a $\sqrt{4x-1}=\sqrt{x+2}-3$	(b) $\sqrt{3-x}-\sqrt x=\sqrt{3-2x}$
(c) $\dfrac{\sqrt{x+1}-1}x=\dfrac1{\sqrt{x+1}+1}$	(d) $\sqrt{72-\dfrac{72}x}+\sqrt{x-\dfrac{72}x}=x$
(e) $2x^{\frac12}-3-2x^{-\frac12}=0$	(f) $x^{\frac53}-6x=x^{\frac43}$
(g) $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$	(h) $\sqrt{2x^2-7x+1}-\sqrt{2x^2-9x+4}=1$
(i) $\dfrac{\sqrt{x^2-9}+3\sqrt{x^2-1}}{x^2}-\dfrac12\sqrt{3}=0$	(j) $\sqrt{x+4+2\sqrt{x+3}}-(x^2+4x+3)^{\frac13}=1$
(k) $\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}}=4$	(l) $\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=\dfrac{15}{\sqrt{x+4}}$
(m) $\sqrt[3]{x^3+3x^2-4x+1}=\dfrac12+\left\|x-\dfrac12\right\|$	(n) $\sqrt[3]{8+16x+6x^2-x^3}=\|x+1\|+1$
(o) $(x-1)\cdot\sqrt{2(x+2)}=x-\sqrt{(2-x)(2+x)}$	(p) $(2x+1)\cdot\sqrt{1-x}=x+\sqrt{1-x^2}$
(q) $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x-2}=x$	(r) $\sqrt[3]{\dfrac{(x+1)^2}2}-\sqrt[3]{\dfrac{(x-1)^2}2}=x$

Řešení	Ukázat
(a) $x=6+2\sqrt7$ (b) $x\in\{0;\frac32\}$ (c) $x\in[-1;0)\cup(0;\infty)$ (d) $x=9$ (e) $x=4$ (f) $x\in\{-8;0;27\}$ (g) nápověda: pod odmocninami jsou plné kvadráty $x\in[5;10]$ (h) $x=5$ (i) $x=\pm2\sqrt{\frac{13}3}$ (j) $x\in\{-3;-2;1\}$ nápověda: plný kvadrát (k) $x\in[-1;23]$ (l) $x=5$ (m) $x\in\{-\frac{\sqrt2}2;0;1\}$ (n) $x\in\{-2;0;\sqrt2\}$ (o) $x\in\{-\sqrt{\frac{5-\sqrt5}2};0\}$ (p) $x\in\{0;\sqrt{\frac{5-\sqrt5}8}\}$ (q) $x\in\{0;\pm\sqrt5\}$ (r) $x\in\{0;\pm\frac{\sqrt5}2\}$

Řešení

Ukázat

(a)

$x=6+2\sqrt7$ (b)

$x\in\{0;\frac32\}$ (c)

$x\in[-1;0)\cup(0;\infty)$ (d)

$x=9$ (e)

$x=4$ (f)

$x\in\{-8;0;27\}$ (g) nápověda: pod odmocninami jsou plné kvadráty

$x\in[5;10]$ (h)

$x=5$ (i)

$x=\pm2\sqrt{\frac{13}3}$ (j)

$x\in\{-3;-2;1\}$ nápověda: plný kvadrát (k)

$x\in[-1;23]$ (l)

$x=5$ (m)

$x\in\{-\frac{\sqrt2}2;0;1\}$ (n)

$x\in\{-2;0;\sqrt2\}$ (o)

$x\in\{-\sqrt{\frac{5-\sqrt5}2};0\}$ (p)

$x\in\{0;\sqrt{\frac{5-\sqrt5}8}\}$ (q)

$x\in\{0;\pm\sqrt5\}$ (r)

$x\in\{0;\pm\frac{\sqrt5}2\}$

Příklad 12

Vhodnou substitucí řešte v množině reálných čísel rovnice

(a) $\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2x+6}{x+2}}+4\sqrt{\frac{x+2}{2x+6}}=5$	(b) $\displaystyle \sqrt{\frac{x-3}{x+2}}+\frac{5}{6}=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$
(c) $\displaystyle 2\sqrt{\frac{2x-1}{x+3}}+\frac{19}{3}+5\sqrt{\frac{x+3}{2x-1}}=0$	(d) $\displaystyle \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{3}{2}$
(e) $\displaystyle \frac{x+1}{x}-2\sqrt{\frac{x+1}{x}}=3$	(f) $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{25-x}{3+x}}+3\sqrt[3]{\frac{3+x}{25-x}}=4$
(g) $\displaystyle \sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7$	(h) $\displaystyle 3x^2+15x+2\sqrt{x^2+5x+1}=2$
(i) $\displaystyle 3x^2-5x+\sqrt{3x^2-5x+4}=16$	(j) $\displaystyle x^2-3x+2\sqrt{x^2-3x+4}=4$
(k) $\displaystyle \sqrt{x^2+4x+8}+\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{2(x^2+4x+6)}$

Řešení	Ukázat
(a) $x\in\{-11;-1\}$ (b) $x=7$ (c) $x\in\emptyset$ (d) $x=\frac53$ (e) $x=\frac18$ (f) $x\in\{-2;11\}$ (g) $x\in\{-1;4\}$ (h) $x\in\{-2;5\}$ (i) $x\in\{-\frac43;3\}$ (j) $x\in\{0;3\}$ (k) $x=-2$

Příklad 13

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2$	(b) $x\sqrt {x^{2}+15}-\sqrt {x}\cdot \sqrt[4]{x^{2}+15}=2$
(c) $\displaystyle \frac{2-x}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}=0$	(d) $\displaystyle \frac{3+x}{3x}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{2}{x^2}}}$
(e) $\displaystyle \sqrt{\frac{x-5}{x+2}}+\sqrt{\frac{x-4}{x+3}}=\frac{7}{x+2}\cdot\sqrt{\frac{x+2}{x+3}}$	(f) $\displaystyle \frac{4}{x+\sqrt{x^2+x}}-\frac{1}{x-\sqrt{x^2+x}}=\frac{3}{x}$
(g) $\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$	(h) $\displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}=3\cdot\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$
(i) $\displaystyle \left(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}\right)^4=(4+\sqrt{x})^2$	(j) $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x^2+2}+x}-\sqrt{\sqrt{x^2+2}-x}=2\cdot\sqrt[4]{2}$
(k) $\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x-3}}+\sqrt{x+3}=\frac{7}{\sqrt{x-3}}$	(l) $\sqrt{1+x\sqrt{x+\dfrac{7}{4} } }=1-x$
(m) $x-\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}}=0$	(n) $2x\cdot\sqrt{x+2}+\dfrac{x^2}{2\sqrt{x+2} }=0$

Řešení	Ukázat
(a) $x=8$ (b) $x=1$ (c) $x\in\{0;\frac{16}9;2\}$ (d) $x=\frac34$ (e) $x=6$ (f) $x\in\{-1;\frac9{16}\}$ (g) $x=\frac{25}{16}$ (h) $x=\frac{25}{16}$ (i) $x=6$ (j) $x=4$ (k) $x=5$ (l) $x=0$ (m) $x\in\{0;\pm2\}$ (n) $x\in\{0;-\frac85\}$

Příklad 14

V množině reálných čísel řešte rovnici

$\sqrt{3\sqrt{x}-\sqrt{7x+\sqrt{4x-1}}}\cdot\sqrt{2x+\sqrt{4x-1}}\cdot\sqrt{3\sqrt{x}+\sqrt{7x+\sqrt{4x-1}}}=13$

Řešení	Ukázat
$x=7$

Příklad 15

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a)

$\dfrac{x^2-x}{x-\sqrt x}=6$

(b)

$\dfrac{\sqrt{x^2+x+4}}{x-1}=2$

Řešení	Ukázat
(a) $x=4$ (b) $x=3$

Příklad 16

V množině reálných čísel řešte rovnice

(a) $3x-2\sqrt x-1=0$	(b) $\sqrt x-5\cdot\sqrt[4]{x}+6=0$
(c) $\dfrac{x}{x+1}-2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=3$	(d) $\dfrac{25}{2x+1}+\dfrac{10}{\sqrt{2x+1}}=3$
(e) $\sqrt{x-1}-\dfrac{15}{\sqrt{x-1}}=2$	(f) $2\sqrt{2x-1}-\dfrac{13}{\sqrt{2x-1}}=-11$
(g) $\left(3-\sqrt{\dfrac{x+4}{2-x}}\right)\cdot\left(2+\sqrt{\dfrac{x+4}{2-x}}\right)=6$	(h) $(2x+\sqrt{x+1})\cdot(2x+\sqrt{x+1}-8)-2(2x+\sqrt{x+1})=24$